矩阵形式与可达集

• 命题框（大字）：U_QSP(Φ; x) = [[P(x), i√(1−x²)·Q(x); i√(1−x²)·Q(x), P(x)]]，其中 P*(x) 表示系数取复共轭
• 推导步骤：

1. 酉性 ⇔ 约束：行范数平方给出 |P(x)|² + (1−x²)·|Q(x)|² = 1 对一切 x ∈ [−1,1]

2. 次数与奇偶记账：deg P ≤ d 且奇偶性与 d 相同；deg Q ≤ d−1 且奇偶性与 d−1 相同

3. 端点条件一行证明：W(1) = I、W(−1) = −I ⇒ U_QSP(Φ; ±1) = (±1)^d·S(ΣΦₖ) 是对角酉阵 ⇒ 其 (0,0) 元模长必为 1

4. 演算·合规例：哈密顿量模拟目标 e^{−iτx} 在 x = ±1 处 |e^{∓iτ}| = 1 ✓ 自动合规

5. 演算·不合规例：求逆目标 1/(κx)，取 κ = 100 ⇒ |P(1)| = 1/κ = 0.01 ≠ 1 ✗ ⇒ 改用 QSVT 双投影子（那里可达集只剩条件 ①②）

• 结果框（可达四条件，强调描边）：① deg P ≤ d 且奇偶性同 d；② |P(x)| ≤ 1；③ 端点 |P(±1)| = 1；④ 端点不满足者 → QSVT 双投影子形式