$d$ 阶 QSP 序列必具有矩阵形式
$$U_{\mathrm{QSP}}(\Phi;x)=\begin{pmatrix}P(x) & i\sqrt{1-x^2}\cdot Q(x)\\ i\sqrt{1-x^2}\cdot Q^*(x) & P^*(x)\end{pmatrix}$$
其中 $P^*$ 表示系数取复共轭；记账为 $\deg P\le d$ 且奇偶性同 $d$、$\deg Q\le d-1$ 且奇偶性同 $d-1$。酉性等价于约束 $|P(x)|^2+(1-x^2)\cdot|Q(x)|^2=1$ 对一切 $x\in[-1,1]$ 成立。端点条件一行证明：$W(1)=I$、$W(-1)=-I$ 使端点处序列塌缩为 $(\pm 1)^d\cdot S(\sum_k\Phi_k)$，而对角酉阵的 $(0,0)$ 元模长必为 1。两个演算钉死判据：模拟目标 $e^{-i\tau x}$ 在 $x=\pm 1$ 处 $|e^{\mp i\tau}|=1$，自动合规；求逆目标 $1/(\kappa x)$ 取 $\kappa=100$ 时 $|P(1)|=1/\kappa=0.01\ne 1$，端点不合规。可达集四条件：① $\deg P\le d$ 且奇偶性同 $d$；② $|P(x)|\le 1$；③ 端点 $|P(\pm 1)|=1$；④ 端点不满足者改用 QSVT 双投影子形式——那里信号空间没有退化端点，可达集只剩条件 ①②。