切比雪夫：QSP 的自然基

• 命题框：T_n(cos θ) = cos nθ；U_n(cos θ) = sin((n+1)θ)/sin θ；两者共用递推 f_{n+1} = 2x·f_n − f_{n−1}
• 推导/演算步骤：

1. 前几项：T₀ = 1、T₁ = x、T₂ = 2x² − 1；U₀ = 1、U₁ = 2x

2. 演算 x = 1/2：T₂(1/2) = 2·(1/4) − 1 = −1/2；U₁(1/2) = 2·(1/2) = 1

3. 恒等式 A：T_n = x·T_{n−1} − (1−x²)·U_{n−2}（代入 x = cos θ，分子化简后由余弦差公式收口）；恒等式 B：U_{n−1} = T_{n−1} + x·U_{n−2}（正弦和公式收口）

4. 全零相位断言：Φ = 0 ⇒ U_QSP = W^d = [[T_d, i√(1−x²)·U_{d−1}; i√(1−x²)·U_{d−1}, T_d]]；d = 1 直接成立（T₁ = x、U₀ = 1）；归纳步由乘积公式得 P = x·T_{d−1} − (1−x²)·U_{d−2}、Q = T_{d−1} + x·U_{d−2}，用 A、B 恰好收口为 T_d、U_{d−1}

5. 演算核对 W(1/2)²：(0,0) 元 = x² − (1−x²) = 2x² − 1 = T₂(1/2) = −1/2 ✓；(0,1) 元 = 2i·x·√(1−x²) = i·√3/2 = i√(1−x²)·U₁(1/2) ✓

• 结果框：副产品恒等式 T_d² + (1−x²)·U_{d−1}² = 1 正是酉性约束的特例；一般可行 P = Σ_{k ≤ d, k ≡ d (mod 2)} aₖ·Tₖ——相位的职责是把切比雪夫系数"编织"进电路