两类切比雪夫多项式定义为 $T_n(\cos\theta)=\cos n\theta$、$U_n(\cos\theta)=\sin((n+1)\theta)/\sin\theta$，共用递推 $f_{n+1}=2x\cdot f_n-f_{n-1}$；前几项 $T_0=1$、$T_1=x$、$T_2=2x^2-1$，$U_0=1$、$U_1=2x$，演算 $T_2(1/2)=2\cdot(1/4)-1=-1/2$、$U_1(1/2)=1$。两条恒等式承接归纳：A 为 $T_n=x\cdot T_{n-1}-(1-x^2)\cdot U_{n-2}$，B 为 $U_{n-1}=T_{n-1}+x\cdot U_{n-2}$，代入 $x=\cos\theta$ 后均由余弦差公式与正弦和公式收口。全零相位断言：$\Phi=0$ 时 $U_{\mathrm{QSP}}=W^d$，左上元为 $T_d$、右上元为 $i\sqrt{1-x^2}\cdot U_{d-1}$；$d=1$ 直接成立，归纳步用乘积公式得新 $P=x\cdot T_{d-1}-(1-x^2)\cdot U_{d-2}$、新 $Q=T_{d-1}+x\cdot U_{d-2}$，恰由 A、B 收口为 $T_d$、$U_{d-1}$。演算核对 $W(1/2)^2$：$(0,0)$ 元 $=x^2-(1-x^2)=2x^2-1=T_2(1/2)=-1/2$，$(0,1)$ 元 $=2i\cdot x\cdot\sqrt{1-x^2}=i\sqrt{3}/2=i\sqrt{1-x^2}\cdot U_1(1/2)$。副产品恒等式 $T_d^2+(1-x^2)\cdot U_{d-1}^2=1$ 正是酉性约束的特例；一般可行多项式 $P=\sum_{k\le d,\,k\equiv d\pmod 2}a_k\cdot T_k$——切比雪夫系数是原料，相位的职责是把它们"编织"进电路。