第 17 课 · 量子信号处理——多项式变换与相位因子 · 模块三：现代算法体系

从相位到电路：交错序列与结果提取

  • 命题框（两条对应）：$W(x) \mapsto$ 行走算符 $W'(A) = U_A\cdot R_0$（Qubitization 构造：$W'(A)$ 的每个二维不变平面上精确等价于 $W(x)$，第 18 课展开）；$e^{i\phi Z} \mapsto e^{i\Phi\tilde{Z}}$，其中 $\tilde{Z} = R_0 = 2|0\rangle\langle 0|^{\otimes m} - I$ 在每个不变平面上恰为单比特 $Z$
  • 推导/演算步骤：
    1. 交错电路：$\tilde{U}_\Phi = e^{i\Phi_0\tilde{Z}}\cdot W'(A)\cdot e^{i\Phi_1\tilde{Z}}\cdot W'(A)\cdots e^{i\Phi_d\tilde{Z}}$
    2. 相位层代价：$e^{i\Phi_k\tilde{Z}} = \cos\Phi_k\cdot I + i\cdot\sin\Phi_k\cdot R_0$——由一次多控相位旋转实现，$O(m)$ 个门
    3. 信号层与总量：$W'(A)$ 一次调用 $O(Ln + C_{\mathrm{PREP}})$（$L$ 项泡利 LCU）；总深度 $O(d)$ 次 $W'(A)$；演算：$d \approx 110$（第 10 页 $\tau = 100$ 例）$\Rightarrow$ 总门数 $O(110\cdot(Ln + C_{\mathrm{PREP}}))$
    4. 提取：把块编码辅助寄存器投影回 $|0\rangle^{\otimes m}$
  • 结果框（大字、强调描边）：$(\langle 0|^{\otimes m} \otimes I)\cdot\tilde{U}_\Phi\cdot(|0\rangle^{\otimes m} \otimes I) = P(A/\alpha) = \sum_j P(\sigma_j/\alpha)\cdot|u_j\rangle\langle v_j|$——所有奇异值量子并行处理，零后选择
类型definition-derivation（电路抬升页）