从相位到电路：交错序列与结果提取

• 命题框（两条对应）：W(x) ↦ 行走算符 W'(A) = U_A·R₀（Qubitization 构造：W'(A) 的每个二维不变平面上精确等价于 W(x)，第 18 课展开）；e^{iφZ} ↦ e^{iΦZ̃}，其中 Z̃ = R₀ = 2|0⟩⟨0|^{⊗m} − I 在每个不变平面上恰为单比特 Z
• 推导/演算步骤：

1. 交错电路：Ũ_Φ = e^{iΦ₀Z̃}·W'(A)·e^{iΦ₁Z̃}·W'(A)⋯e^{iΦ_d Z̃}

2. 相位层代价：e^{iΦₖZ̃} = cos Φₖ·I + i·sin Φₖ·R₀——由一次多控相位旋转实现，O(m) 个门

3. 信号层与总量：W'(A) 一次调用 O(Ln + C_PREP)（L 项泡利 LCU）；总深度 O(d) 次 W'(A)；演算：d ≈ 110（第 10 页 τ = 100 例）⇒ 总门数 O(110·(Ln + C_PREP))

4. 提取：把块编码辅助寄存器投影回 |0⟩^{⊗m}

• 结果框（大字、强调描边）：(⟨0|^{⊗m} ⊗ I)·Ũ_Φ·(|0⟩^{⊗m} ⊗ I) = P(A/α) = Σⱼ P(σⱼ/α)·|uⱼ⟩⟨vⱼ|——所有奇异值量子并行处理，零后选择