表示定理：三条引理的接力

• 命题框：表示定理——P 满足条件 ①②③ ⇔ 存在 Φ ∈ R^{d+1} 使 [U_QSP(Φ)]₀₀ = P(x)，且互补元为 i√(1−x²)·Q(x)，(P, Q) 是可行对
• 推导步骤（三引理接力）：

1. 引理 1·封闭性：M(P₁,Q₁)·M(P₂,Q₂) = M(P₁P₂ − s²·Q₁Q₂, P₁Q₂ + Q₁P₂)（s² = 1−x²）；且 W = M(x, 1)、S(φ) = M(e^{iφ}, 0)——电路层 ↔ 多项式对

2. 引理 2·剥层：约束两端 x^{2d} 系数比较得 |p_d|² − |q_{d−1}|² = 0 ⇒ |p_d| = |q_{d−1}| ≠ 0；取 e^{2iΦ_d} = p_d/q_{d−1}，(P, Q) 剥成层数 d−1 的可行对 (P′, Q′)

3. 引理 3·伴随：g = 1 − P·P* ≥ 0 且 g(±1) = 0 ⇒ g 被 (1−x²) 整除；经 Fejér–Riesz 谱分解 h(cos θ) = |Q(cos θ)|² 造出补多项式 Q

4. 归纳装配：基础 n = 0 时 Q = 0、P = e^{iΦ₀}；deg P ≤ n−2 时补 [W·S(0)]² = M(ix, −i)² = M(−1, 0) = −I，用 Φ₀ → Φ₀ + π 抵消全局符号

5. 离散性：每层剥除相位恰两个解（相差 π，对应全局符号 ∓1，被末端吸收）——相位解集有限

• 结果框：封闭性（电路 ↔ 多项式对）+ 剥层（逐层配平降次）+ 伴随（Q 存在）⇒ 可达集刻画 = 表示定理