表示定理：$P$ 满足条件 ①②③ 当且仅当存在 $\Phi\in\mathbb{R}^{d+1}$ 使 $[U_{\mathrm{QSP}}(\Phi)]_{00}=P(x)$，互补元为 $i\sqrt{1-x^2}\cdot Q(x)$，$(P,Q)$ 是可行对——可达集刻画由必要升为充要。引理 1（封闭性）管正向：乘积公式 $M(P_1,Q_1)\cdot M(P_2,Q_2)=M(P_1P_2-s^2\cdot Q_1Q_2^*,\,P_1Q_2+Q_1P_2^*)$（$s^2=1-x^2$），且 $W=M(x,1)$、$S(\phi)=M(e^{i\phi},0)$，电路层与多项式对互译，次数奇偶记账在此完成。引理 2（剥层）管反向：比较约束两端 $x^{2d}$ 系数得 $|p_d|^2-|q_{d-1}|^2=0$，即 $|p_d|=|q_{d-1}|\ne 0$；取 $e^{2i\Phi_d}=p_d/q_{d-1}$，$(P,Q)$ 剥成层数 $d-1$ 的可行对 $(P',Q')$。引理 3（伴随）管补件：$g=1-P\cdot P^*\ge 0$ 且 $g(\pm 1)=0$，故 $g$ 被 $(1-x^2)$ 整除，经 Fejér–Riesz 谱分解 $h(\cos\theta)=|Q(\cos\theta)|^2$ 造出补多项式 $Q$。归纳装配的两个收尾：基础 $n=0$ 时 $Q=0$、$P=e^{i\Phi_0}$；$\deg P\le d-2$ 时补 $[W\cdot S(0)]^2=M(ix,-i)^2=M(-1,0)=-I$，用 $\Phi_0\to\Phi_0+\pi$ 抵消全局符号。每层剥除相位恰两个解（相差 $\pi$，对应全局符号 $\mp 1$，被末端吸收），相位解集有限——存在、可算、可数。