第 17 课 · 量子信号处理——多项式变换与相位因子 · 模块三：现代算法体系

逼近精度与复杂度账本

  • 命题框：Jackson 定理 $\lVert f - P_d\rVert \le C\cdot\omega_f(1/d)$，Lipschitz 常数 $L$ $\Rightarrow$ $d = O(L/\varepsilon)$；Bernstein 椭圆 $|c_k| \le 2M\cdot\rho^{-k}$ $\Rightarrow$ 截断误差 $\lVert f - P_d\rVert \le 2M\cdot\rho^{1-d}/(\rho-1)$
  • 推导/演算步骤：
    1. 取 $f = e^{-i\tau x}$：椭圆 $E_\rho$ 上 $|f| = e^{\tau\cdot\mathrm{Im} z}$，最大值 $M = e^{\tau(\rho-\rho^{-1})/2}$；选 $\rho = d/\tau$
    2. 演算 $\tau = 100$、比例 $c = d/\tau = e$：$d = e\tau \approx 272$，误差主部 $\tau(1 - e/2) \approx 100\times(-0.359) = -35.9$ $\Rightarrow$ $\lVert f - P_d\rVert \lesssim e^{-35.9} \approx 2.5\times 10^{-16}$——随 $d$ 指数下降
    3. 结论（大字）：$d = O(\tau + \log(1/\varepsilon))$；演算 $\tau = 100$、$\varepsilon = 10^{-4}$ $\Rightarrow$ $d \approx 100 + \ln(10^4) \approx 110$ 量级
    4. 求逆演算：$\kappa = 100$、$\varepsilon = 10^{-4}$ $\Rightarrow$ $d = O(\kappa\cdot\log(\kappa/\varepsilon)) = O(100\cdot\ln(10^6)) \approx 1380$ 量级（log $\kappa$ 因子来自过渡带平滑处理）
  • 账本表格：模拟 $O(\alpha t + \log(1/\varepsilon))$；求逆 $O(\kappa\cdot\log(\kappa/\varepsilon))$；通用 $f(A)$ $O(\deg f)$；Grover $O(\sqrt{N})$——均无后选择、深度达信息论下界（至多差 polylog 因子）
  • 对比条：Trotter $O(1/\varepsilon^{1/2p})$ 且仅渐近界；LCHS 需后选择、深度含 $e^{\lVert\alpha\rVert t}$；QSP $O(\log(1/\varepsilon))$ 精确可控——代价是相位求解的实现门槛
类型definition-derivation + 图表