逼近精度与复杂度账本

• 命题框：Jackson 定理 ‖f − P_d‖ ≤ C·ω_f(1/d)，Lipschitz 常数 L ⇒ d = O(L/ε)；Bernstein 椭圆 |cₖ| ≤ 2M·ρ^{−k} ⇒ 截断误差 ‖f − P_d‖ ≤ 2M·ρ^{1−d}/(ρ−1)
• 推导/演算步骤：

1. 取 f = e^{−iτx}：椭圆 E_ρ 上 |f| = e^{τ·Im z}，最大值 M = e^{τ(ρ−ρ^{−1})/2}；选 ρ = d/τ

2. 演算 τ = 100、比例 c = d/τ = e：d = eτ ≈ 272，误差主部 τ(1 − e/2) ≈ 100×(−0.359) = −35.9 ⇒ ‖f − P_d‖ ≲ e^{−35.9} ≈ 2.5×10⁻¹⁶——随 d 指数下降

3. 结论（大字）：d = O(τ + log(1/ε))；演算 τ = 100、ε = 10⁻⁴ ⇒ d ≈ 100 + ln(10⁴) ≈ 110 量级

4. 求逆演算：κ = 100、ε = 10⁻⁴ ⇒ d = O(κ·log(κ/ε)) = O(100·ln(10⁶)) ≈ 1380 量级（log κ 因子来自过渡带平滑处理）

• 账本表格：模拟 O(αt + log(1/ε))；求逆 O(κ·log(κ/ε))；通用 f(A) O(deg f)；Grover O(√N)——均无后选择、深度达信息论下界（至多差 polylog 因子）
• 对比条：Trotter O(1/ε^{1/2p}) 且仅渐近界；LCHS 需后选择、深度含 e^{‖α‖t}；QSP O(log(1/ε)) 精确可控——代价是相位求解的实现门槛