- 引子（一句）：定理保证相位存在——但 $d = 500$ 时这几百个数字从哪来？
- 命题框：求 $\Phi \in \mathbb{R}^{d+1}$ 使 $\mathrm{Re}\langle 0|U_{QSP}(\Phi; x)|0\rangle = P(x)$ 对一切 $x \in [-1,1]$
- 推导/演算步骤：
- 自由度账目：切比雪夫系数方程 $d+1$ 个（奇偶约束后减半）= 未知相位 $d+1$ 个（对称化后减半）$\Rightarrow$ 方程数 = 未知数，解集离散有限——但非凸，随机初值易掉入"系数对了模长、错了相位"的陷阱
- 三重坏脾气：目标常为 minimax 最优（通带等幅纹波）$\Rightarrow$ 可行解处 Hessian 病态；$d \gtrsim 500$ 时相位对扰动极敏感；两套信号约定 $\times$ 相位左排/右排不统一——复现文献数值的头号坑
- 优化法损失：$L(\Phi) = (1/\tilde{d})\cdot\sum_j |\mathrm{Re}\langle 0|U_{QSP}(\Phi; x_j)|0\rangle - P(x_j)|^2$，切比雪夫节点 $x_j = \cos((2j-1)\pi/(4\tilde{d}))$，$\tilde{d} \gtrsim 2d$
- 演算节点分布：$d = 100$、$\tilde{d} = 200$ $\Rightarrow$ 最靠端点的节点 $x_1 = \cos(\pi/800) \approx 1 - 7.7\times 10^{-6}$；对照均匀 200 点网格最近点距端点 0.01——切比雪夫节点把端点处的采样密度提高约三个数量级
- 算法形态：可行性精确为零 $\Rightarrow$ 收敛到零而非停在梯度小处；偏导有精确公式（对 $S(\Phi_k)$ 求导 = 在乘积链中插入 $iZ$）$\Rightarrow$ 牛顿 / LM 免数值微分；残差 $< 10^{-8}$ 后切高精度线性求解；度数递增：先解 $d/8$，低次解补零相位作初值、逐级加倍
- 结果框：双精度稳定上限——$d \sim 10^2$ 量级无压力、$d \sim 10^3$ 需阻尼 + 递增 + 对称化全开
类型hook（转场页，引子一句）+ definition-derivation