- 命题框（两步图纸）：① Fejér–Riesz 谱分解从 $|P|^2 + (1-x^2)|Q|^2 = 1$ 解出补多项式 $Q$（$x = \cos\theta$ 代入化为三角多项式恒等式）；② 逐层剥除 $e^{2i\Phi_d} = p_d/q_{d-1}$——每层一次除法 + 一次 arctan，共 $O(d)$ 层；整体 $O(d^2)$（快速多项式乘法近线性）；精确 arccos 变体把稳定上限推到 $d \sim 10^4$
- 演算（$d = 1$、$P(x) = x$，手算剥层全过程）：
- 可行性方程定 $Q$：$|x|^2 + (1-x^2)\cdot|Q|^2 = 1$ $\Rightarrow$ $|Q|^2 = 1$ $\Rightarrow$ $Q = 1$（$\deg \le 0$ ✓）
- 矩阵展开：先乘 $W(x)\cdot S(\Phi_1)$，再左乘 $S(\Phi_0)$ $\Rightarrow$ $[U_{QSP}]_{00} = x\cdot e^{i(\Phi_0+\Phi_1)}$、$Q = e^{i(\Phi_0-\Phi_1)}$
- 配平：$\mathrm{Re}\langle 0|U_{QSP}|0\rangle = x\cdot\cos(\Phi_0+\Phi_1) = x$ $\Rightarrow$ $\Phi_0 + \Phi_1 = 0$；$\Phi_0 - \Phi_1 = 0$ $\Rightarrow$ $\Phi_0 = \Phi_1 = 0$
- 剥层公式核对：$e^{2i\Phi_1} = p_1/q_0 = 1/1 = 1$ $\Rightarrow$ $\Phi_1 = 0$ ✓（与步骤 3 一致）
- 对比表格（两栏五行）：初值——需度数递增策略 / 免初值；复杂度——每次牛顿 $O(d^2)$、共 $O(\log d)$ 级 / $O(d^2)$ 可加速；双精度稳定上限——$d \sim 10^3$ / $d \sim 10^4$；灵活性——可加正则化、软约束 / 只解标准问题；实现门槛——中（雅可比易错）/ 高（谱分解与剥层细节多）
- 结果框（建议条）：$d \lesssim 500$ 用优化法（实现简单、可交叉验证），大规模或批量用确定性构造；同一 $P$ 两法所得 $\Phi$ 重建的 $\langle 0|U_{QSP}|0\rangle$ 曲线必须完全一致——互为验证器
类型worked-example + comparison