- 命题框（两步图纸）：① Fejér–Riesz 谱分解从 |P|² + (1−x²)|Q|² = 1 解出补多项式 Q（x = cos θ 代入化为三角多项式恒等式）；② 逐层剥除 e^{2iΦ_d} = p_d/q_{d−1}——每层一次除法 + 一次 arctan，共 O(d) 层；整体 O(d²)（快速多项式乘法近线性）；精确 arccos 变体把稳定上限推到 d ~ 10⁴
- 演算（d = 1、P(x) = x，手算剥层全过程）：
1. 可行性方程定 Q：|x|² + (1−x²)·|Q|² = 1 ⇒ |Q|² = 1 ⇒ Q = 1（deg ≤ 0 ✓）
2. 矩阵展开：先乘 W(x)·S(Φ₁)，再左乘 S(Φ₀) ⇒ [U_QSP]₀₀ = x·e^{i(Φ₀+Φ₁)}、Q = e^{i(Φ₀−Φ₁)}
3. 配平：Re⟨0|U_QSP|0⟩ = x·cos(Φ₀+Φ₁) = x ⇒ Φ₀ + Φ₁ = 0；Φ₀ − Φ₁ = 0 ⇒ Φ₀ = Φ₁ = 0
4. 剥层公式核对：e^{2iΦ₁} = p₁/q₀ = 1/1 = 1 ⇒ Φ₁ = 0 ✓（与步骤 3 一致）
- 对比表格（两栏五行）：初值——需度数递增策略 / 免初值；复杂度——每次牛顿 O(d²)、共 O(log d) 级 / O(d²) 可加速；双精度稳定上限——d ~ 10³ / d ~ 10⁴；灵活性——可加正则化、软约束 / 只解标准问题；实现门槛——中（雅可比易错）/ 高（谱分解与剥层细节多）
- 结果框（建议条）：d ≲ 500 用优化法（实现简单、可交叉验证），大规模或批量用确定性构造；同一 P 两法所得 Φ 重建的 ⟨0|U_QSP|0⟩ 曲线必须完全一致——互为验证器