第 18 课 · Qubitization 与 QSVT——把任意矩阵函数变成量子电路 · 模块三：现代算法体系

量子行走算符：$W$ 与 $W'$

  • 命题框：$R_0 = 2|0\rangle\langle 0|^{\otimes m} - I$；$W = \mathrm{SELECT}\cdot(2|\mathcal{A}\rangle\langle\mathcal{A}|\otimes I - I)$；$W' = U_A\cdot R_0$
  • 推导步骤（PREP 共轭等价，逐行）：
    1. 反射分解：$\mathrm{PREP}\cdot R_0\cdot\mathrm{PREP}^\dagger = 2|\mathcal{A}\rangle\langle\mathcal{A}|\otimes I - I$（由 $\mathrm{PREP}|0\rangle^{\otimes m} = |\mathcal{A}\rangle$ 与 $\mathrm{PREP}\cdot\mathrm{PREP}^\dagger = I$ 代入）
    2. 两边共轭：$\mathrm{PREP}^\dagger\cdot W\cdot\mathrm{PREP} = \mathrm{PREP}^\dagger\cdot\mathrm{SELECT}\cdot\mathrm{PREP}\cdot R_0 = U_A\cdot R_0 = W'$
    3. 推论：$W$ 与 $W'$ 西相似 → 谱完全相同；推谱用 $W$（显式 SELECT 好追踪），谈代价用 $W'$
    4. 代价核算：$W = 1\times\mathrm{SELECT} + 2\times\mathrm{PREP} + 1\times R_0$，即 $O(C_{\mathrm{SELECT}} + 2\cdot C_{\mathrm{PREP}} + m)$；$W' = 1\times U_A + 1\times R_0$
  • 演算（Ising 例）：$L = 7$、$n = 4$ → $C_{\mathrm{SELECT}} = O(L\cdot n) = O(7\times 4)$（7 个受控泡利串）→ 单次行走 $O(L\cdot n + C_{\mathrm{PREP}})$
  • 结果框：$W' = U_A\cdot R_0$ 是可执行对象——1 次块编码 + 1 个 $O(m)$ 反射
类型definition-derivation