- 命题框（定理，大字）：$W$ 保持二维不变子空间 $K_j = \mathrm{span}\{|x_j\rangle, |q_j\rangle\}$，且 $W|K_j = R_y(2\theta_j) = [\cos\theta_j, -\sin\theta_j; \sin\theta_j, \cos\theta_j]$，特征值 $e^{\pm i\theta_j}$，$\cos\theta_j = E_j/\lambda$
- 推导步骤（逐行，教材"理论推导"第一、二步）：
- 轨道：$|x_j\rangle = |\mathcal{A}\rangle|E_j\rangle$；$|p_j\rangle = \mathrm{SELECT}|x_j\rangle$
- 关键内积：$\langle x_j|p_j\rangle = \langle\mathcal{A}|\mathrm{SELECT}|\mathcal{A}\rangle$ 作用在 $|E_j\rangle$ 分支 $= E_j/\lambda =: \tilde{E}_j$（加权和还原 $A$）
- 勾股：$\lVert|p_j\rangle - \tilde{E}_j|x_j\rangle\rVert^2 = 1 - \tilde{E}_j^2$ → 定义 $|q_j\rangle = (|p_j\rangle - \tilde{E}_j|x_j\rangle)/\sqrt{1-\tilde{E}_j^2}$
- $W|x_j\rangle = \mathrm{SELECT}|x_j\rangle = |p_j\rangle = \tilde{E}_j|x_j\rangle + \sqrt{1-\tilde{E}_j^2}|q_j\rangle$（反射固定辅助为 $|\mathcal{A}\rangle$ 的分量）
- $W|p_j\rangle = \mathrm{SELECT}\cdot(2\tilde{E}_j|x_j\rangle - |p_j\rangle) = 2\tilde{E}_j|p_j\rangle - \mathrm{SELECT}^2|x_j\rangle = 2\tilde{E}_j|p_j\rangle - |x_j\rangle$（用 $\mathrm{SELECT}^2 = I$）
- 换基排矩阵：$W|K_j = [\tilde{E}_j, -\sqrt{1-\tilde{E}_j^2}; \sqrt{1-\tilde{E}_j^2}, \tilde{E}_j] = R_y(2\theta_j)$，$\theta_j = \arccos\tilde{E}_j$
- 特征方程 $\mu^2 - 2\tilde{E}_j\cdot\mu + 1 = 0$（判别式 $4(\tilde{E}_j^2-1) \le 0$）→ $\mu = \tilde{E}_j \pm i\cdot\sqrt{1-\tilde{E}_j^2} = e^{\pm i\theta_j}$
- 演算（教材练习 3 数值）：$\lambda = 5$、$E_0 = 3$、$E_1 = -4$ → $\theta_0 = \arccos(3/5) \approx 0.927$；$\theta_1 = \arccos(-4/5) \approx 2.498$；对应特征值 $e^{\pm i\cdot 0.927}$ 与 $e^{\pm i\cdot 2.498}$
- 结果框：谱-相位对应 $\cos\theta_j = E_j/\lambda$（非 Hermitian 时 $E_j$ 换奇异值 $\sigma_j$）→ 任意 $|p| \le 1$、定奇偶的 $d$ 次多项式给出 $p(A/\alpha)$ 的块编码，深度 $O(d)$
类型definition-derivation（重点页，占满）