- 命题框（转移矩阵恒等式，大字）：$(\langle 0|^{\otimes m}\otimes I)\cdot W'^n\cdot(|0\rangle^{\otimes m}\otimes I) = T_n(A/\lambda) = \sum\cos(n\theta_j)|E_j\rangle\langle E_j|$
- 推导步骤（逐行）：
- 旋转的幂仍是旋转：$R_y(2\theta)^n = R_y(2n\theta)$（特征值 $e^{\pm i\theta}$ → $e^{\pm in\theta}$；归纳步用 $\cos((n+1)\theta) = \cos\theta\cdot\cos n\theta - \sin\theta\cdot\sin n\theta$）
- 展开：$W'^n|0\rangle|E_j\rangle = \cos(n\theta_j)|0\rangle|E_j\rangle + \sin(n\theta_j)|\bar{q}_j\rangle$
- 泄漏分量被投影消去：$(\langle 0|\otimes I)|\bar{q}_j\rangle = 0$ → 转移振幅只剩 $\cos(n\theta_j)$
- 代入 $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$ 与 $\cos\theta_j = E_j/\lambda$ → 恒等式得证
- 相位交错推广：$\tilde{Z} = R_0$ 限制在平面 $\mathrm{span}\{|0\rangle|E_j\rangle, |\bar{q}_j\rangle\}$ 上 $= \mathrm{diag}(1, -1) = Z$ → 序列 $e^{i\Phi_0\tilde{Z}}\cdot W'\cdot e^{i\Phi_1\tilde{Z}}\cdots W'\cdot e^{i\Phi_d\tilde{Z}}$ 在每个平面上是一条 QSP 序列
- 演算：$T_2(x) = 2x^2-1$ → $T_2(0.6) = 2\times 0.36-1 = -0.28$；$T_2(0.8) = 2\times 0.64-1 = 0.28$（下一页手算抽查）
- 结果框：可实现集（第 17 课约束）：次数 $\le d$、奇偶性与 $d$ 一致、$|P| \le 1$、$|P(\pm 1)| = 1$ → 深度 $O(d)$ 精确实现
类型definition-derivation