走 n 步 = 切比雪夫：从幂到 QSP

• 命题框（转移矩阵恒等式，大字）：(⟨0|^{⊗m}⊗I)·W′ⁿ·(|0⟩^{⊗m}⊗I) = T_n(A/λ) = Σ cos(nθ_j)|E_j⟩⟨E_j|
• 推导步骤（逐行）：

1. 旋转的幂仍是旋转：R_y(2θ)ⁿ = R_y(2nθ)（特征值 e^{±iθ} → e^{±inθ}；归纳步用 cos((n+1)θ) = cos θ·cos nθ − sin θ·sin nθ）

2. 展开：W′ⁿ|0⟩|E_j⟩ = cos(nθ_j)|0⟩|E_j⟩ + sin(nθ_j)|q̄_j⟩

3. 泄漏分量被投影消去：(⟨0|⊗I)|q̄_j⟩ = 0 → 转移振幅只剩 cos(nθ_j)

4. 代入 T_n(cos θ) = cos(nθ) 与 cos θ_j = E_j/λ → 恒等式得证

5. 相位交错推广：Z̃ = R₀ 限制在平面 span{|0⟩|E_j⟩, |q̄_j⟩} 上 = diag(1, −1) = Z → 序列 e^{iΦ₀Z̃}·W′·e^{iΦ₁Z̃}⋯W′·e^{iΦ_dZ̃} 在每个平面上是一条 QSP 序列

• 演算：T₂(x) = 2x²−1 → T₂(0.6) = 2×0.36−1 = −0.28；T₂(0.8) = 2×0.64−1 = 0.28（下一页手算抽查）
• 结果框：可实现集（第 17 课约束）：次数 ≤ d、奇偶性与 d 一致、|P| ≤ 1、|P(±1)| = 1 → 深度 O(d) 精确实现