第 18 课 · Qubitization 与 QSVT——把任意矩阵函数变成量子电路 · 模块三:现代算法体系

QSVT 电路:交替结构

  • 命题框:$d$ 奇:$U_\Phi = e^{i\Phi_0 Z_{\tilde{\Pi}}}\cdot U\cdot e^{i\Phi_1 Z_\Pi}\cdot U^\dagger\cdot e^{i\Phi_2 Z_{\tilde{\Pi}}}\cdots U\cdot e^{i\Phi_d Z_\Pi}$($U$ 共 $(d+1)/2$ 次、$U^\dagger$ 共 $(d-1)/2$ 次,输出在 $\mathrm{im}\,\tilde{\Pi}$);$d$ 偶:输入输出同在 $\mathrm{im}\,\Pi$ 一侧,$U$ 与 $U^\dagger$ 各 $d/2$ 次
  • 结构规则(编号行):
    1. 子空间跳换:信号($U$ 或 $U^\dagger$)每作用一次,态在 $\{v_j, \bar{v}_j\}$ ↔ $\{u_j, \bar{u}_j\}$ 两类子空间间跳换 → 相位门类型跟着换($Z_\Pi$ / $Z_{\tilde{\Pi}}$)
    2. 计数演算:$d = 3$ → 2 次 $U$ + 1 次 $U^\dagger$ + 4 个相位门;$d = 2$ → 1 + 1 + 3;一般信号共 $d$ 次、相位门 $d+1$ 个
    3. 代价:$O(d\cdot C_U)$($C_U$ 为单次 $U$ 或 $U^\dagger$ 的门代价)
  • 演算($d = 1$ 最小例子,逐步追坐标):$(1,0)^T$ →(处理器 $e^{i\Phi_1 Z}$)→ $e^{i\Phi_1}(1,0)^T$ →(信号 $M(\sigma)$)→ $e^{i\Phi_1}(\sigma, \rho)^T$ →(处理器 $e^{i\Phi_0 Z}$)→ $(\sigma\cdot e^{i(\Phi_0+\Phi_1)}, \rho\cdot e^{i(\Phi_1-\Phi_0)})^T$;$(0,0)$ 元 $= \sigma\cdot e^{i(\Phi_0+\Phi_1)}$——一次奇多项式
  • 结果框:整条电路逐块化为"信号 $M(\sigma_j)$ $\times$ 处理器 $S(\Phi_k)$"的单量子比特序列(下一页定理由此而来)
类型definition-derivation