QETU：只用手里的演化算符

• 命题框（QETU 定理，Dong–Lin–Tong 2022，PRX Quantum 3, 040305）：设 H 厄米、U = e^{−iH/2} 可受控调用。对任意次数 ≤ d 的偶实系数多项式 F（|F| ≤ 1 于 [−1,1]），存在对称相位序列 (φ₀, φ₁, …, φ_d, …, φ₁, φ₀)，使单辅助比特线路满足 ⟨0|U_QETU|0⟩ = F(cos(H/2))，共调用 U 恰好 d 次
• 推导/演算步骤：

1. 信号替换：H 的本征值 λ 经"余弦折叠"映到 x = cos(λ/2) ∈ [−1,1]——设计目标前先做变量替换

2. 演算：λ = 0 → cos 0 = 1；λ = 2π/3 → cos(π/3) = 1/2；λ = 4π/3 → cos(2π/3) = −1/2（谱点全部落入信号区间）

3. 偶实 F 为何够用：滤波函数、虚时间衰减 e^{−βx} 的偶多项式近似、阈值函数都是实偶型目标

4. 基态制备"模糊二分"：F 取过渡带 [μ−δ, μ+δ] 的阶跃近似，μ 从谱高处二分下降、逐层收窄 δ；演算谱隙 Δ = 0.1 → 过渡带 [μ−Δ/4, μ+Δ/4] = [μ−0.025, μ+0.025]

• 结果框：资源轮廓 = d 次受控 e^{−iH/2} + 1 个辅助比特 + 无块编码 + 无 QPE 长寄存器；早期容错资源模型下基态制备+能量估计总代价优于 QPE 方案