QETU 定理（Dong–Lin–Tong 2022，PRX Quantum 3, 040305）：设 $H$ 厄米、$U=e^{-iH/2}$ 可受控调用，对任意次数 $\le d$、$|F|\le 1$ 于 $[-1,1]$ 的偶实系数多项式 $F$，存在对称相位序列 $(\phi_0,\phi_1,\ldots,\phi_d,\ldots,\phi_1,\phi_0)$，使单辅助比特线路满足 $\langle 0|U_{\mathrm{QETU}}|0\rangle=F(\cos(H/2))$，恰好调用 $U$ 共 $d$ 次。信号是 $\cos(H/2)$ 而非 $H$：本征值 $\lambda$ 经余弦折叠进入区间 $[-1,1]$，如 $\lambda=0$ 映到 $1$、$\lambda=2\pi/3$ 映到 $1/2$、$\lambda=4\pi/3$ 映到 $-1/2$，设计目标前须先做变量替换；偶实 $F$ 足以覆盖滤波函数、虚时间衰减 $e^{-\beta x}$ 的偶多项式近似与阈值函数。基态制备的"模糊二分法"：$F$ 取过渡带 $[\mu-\delta,\mu+\delta]$ 的阶跃近似，$\mu$ 自谱高处二分下降、逐层收窄 $\delta$；谱隙 $\Delta=0.1$ 时过渡带为 $[\mu-\Delta/4,\mu+\Delta/4]=[\mu-0.025,\mu+0.025]$。资源轮廓是 $d$ 次受控 $e^{-iH/2}$ 加一个辅助比特，无块编码、无 QPE 长寄存器；早期容错资源模型下基态制备加能量估计的总代价优于 QPE 方案。