第 19 课 · 前沿应用——GQSP-QETU、LCHS 与薛定谔化 · 模块三：现代算法体系

QPP 与 GQSP：拆掉奇偶性约束（板块 A 核心推导）

  • 命题框 1（QPP 模长条件，Wang 等 2023）：舞台从块编码信号比特搬到相位寄存器，对 $e^{-iH}$ 的本征相位 $\theta$ 实现 Laurent 多项式 $P(e^{i\theta})$；奇偶约束被单位圆模长条件 $|P(e^{i\theta})|^2 + |Q(e^{i\theta})|^2 = 1$ 取代，每个信号门带两个相位自由度
  • 命题框 2（公式卡，大字居中）：$R(\theta,\phi,\lambda) = [e^{i(\lambda+\phi)}\cos\theta, e^{i\phi}\sin\theta; e^{i\lambda}\sin\theta, -\cos\theta]$（$2\times 2$ 矩阵，分号分行）
  • 推导步骤（逐行验证 $R^\dagger R = I$）：
    1. (1,1) 元：$|e^{i(\lambda+\phi)}\cos\theta|^2 + |e^{i\lambda}\sin\theta|^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$（相位因子模方为 1，消去）
    2. (2,2) 元：$|e^{i\phi}\sin\theta|^2 + |-\cos\theta|^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
    3. (1,2) 元：$e^{-i(\lambda+\phi)}\cos\theta\cdot e^{i\phi}\sin\theta + e^{-i\lambda}\sin\theta\cdot(-\cos\theta) = e^{-i\lambda}\sin\theta\cos\theta - e^{-i\lambda}\sin\theta\cos\theta = 0$（精确相消）
    4. 演算 $\theta = \pi/4$：$\cos^2\theta = \sin^2\theta = 1/2$ → 对角元 $= 1/2 + 1/2 = 1$ ✓
  • 命题框 3（GQSP 定理，Motlagh–Wiebe 2024，PRX Quantum 5, 020368）：任意酉 $W$、任意次数 $\le d$ 的 $P$（无奇偶性要求，$|P(e^{i\vartheta})| \le 1$ 对全部本征相位），$(\prod_{j=1}^{d} R(\theta_j,\phi_j,0)\cdot W)\cdot R(\theta_0,\phi_0,\lambda)$ 的左上角块为 $P(W)$，用 $W$ 恰好 $d$ 次；标准 QSP 是其特例（$R$ 退化为单参数 Z 相位）
  • 结果框（收益三条）：$e^{-i\tau x}$ 一步到位，$\alpha'$ 从 $2\alpha$ 回到 $\alpha$（复杂度常数减半量级）；相位求解有配套稳定递推；可构造对态制备误差与相位寄存器长度误差一阶不敏感的鲁棒 QPE
类型definition-derivation（重点页，占满）