第 19 课 · 前沿应用——GQSP-QETU、LCHS 与薛定谔化 · 模块三：现代算法体系

基础设施：LCU 与后选择

  • 命题框：$S = \sum_k \alpha_k U_k$（$\alpha_k \ge 0$），$\lambda = \lVert\alpha\rVert_1 = \sum_k\alpha_k \ge \lVert S\rVert$；$\mathrm{PREP}|0\rangle = (1/\sqrt{\lambda})\sum_k\sqrt{\alpha_k}|k\rangle$；$\mathrm{SELECT} = \sum_k|k\rangle\langle k|\otimes U_k$；$W = (\mathrm{PREP}^\dagger\otimes I)\cdot\mathrm{SELECT}\cdot(\mathrm{PREP}\otimes I)$
  • 推导步骤（LCU 引理三步展开，逐行）：
    1. PREP：$\mathrm{PREP}|0\rangle|\psi\rangle = (1/\sqrt{\lambda})\sum_k\sqrt{\alpha_k}|k\rangle|\psi\rangle$（归一化验证：振幅平方和 $\sum\alpha_k/\lambda = 1$ ✓）
    2. SELECT：按基矢分支作用 → $(1/\sqrt{\lambda})\sum_k\sqrt{\alpha_k}|k\rangle\cdot U_k|\psi\rangle$
    3. $\mathrm{PREP}^\dagger$：用 $\langle 0|\mathrm{PREP}^\dagger = \langle A| = (1/\sqrt{\lambda})\sum_k\sqrt{\alpha_k}\langle k|$，辅助投影到 $|0\rangle$ 的分量 $= (1/\lambda)\sum_k\alpha_k U_k|\psi\rangle = S|\psi\rangle/\lambda$
    4. 汇总：$W|0\rangle|\psi\rangle = (1/\lambda)|0\rangle S|\psi\rangle + |\perp\rangle$ $\Rightarrow$ 后选择成功概率 $P = \lVert S|\psi\rangle\rVert^2/\lambda^2$
  • 演算（两个真实系统，Taylor 截断 LCU）：
    • 横场 Ising（$J = h = 1$，$n = 10$）：$L = 2n = 20$ 个泡利字符串项，$\lambda = n(J+h) = 20$；$t = 0.1$ 时系数一范数 $\mu_{\mathrm{tot}} \le e^{\lambda t} = e^{20\times 0.1} = e^2 \approx 7.4$ → 振幅放大后约 8 次调用（直接重复约 $7.4^2 \approx 55$ 次）
    • $H_2$ 分子（STO-3G + Jordan–Wigner）：$L = 8$ 项，$\lambda \approx 3.5$ 哈特里；$t = 1$ → $\mu_{\mathrm{tot}} \le e^{3.5} \approx 33$ → 振幅放大后约 33 次调用
  • 结果框：直接重复 $O(\lambda^2)$ vs 振幅放大 $O(\lambda)$；等价说法——$W$ 是 $S$ 的 $(\lambda, m_a, 0)$-块编码；本质局限：Taylor 截断 LCU 只能实现酉目标
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