LCHS 定理（An–Liu–Lin 2023）：分解 $A(t)=L(t)+iH(t)$，其中 $L=(A+A^\dagger)/2$、$H=(A-A^\dagger)/2i$ 均厄米；若 $L(t)\succeq 0$，则
$$\mathcal{T}e^{-\int_0^t A}=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{\pi(1+k^2)}\,\mathcal{T}e^{-i\int_0^t(H+kL)}$$
右边对每个实 $k$ 都是幺正演化，权重是 $e^{-|x|}$ 的傅里叶变换。从头计算：拆半轴得 $\int_0^\infty e^{-(1+ik)x}dx+\int_0^\infty e^{-(1-ik)x}dx=1/(1+ik)+1/(1-ik)$，通分 $(1-ik+1+ik)/((1+ik)(1-ik))=2/(1+k^2)$，故 $\hat f(k)=1/(\pi(1+k^2))$；$k=0$ 时 $\hat f(0)=1/\pi\approx 0.318$、$k=\pm 1$ 时 $1/(2\pi)\approx 0.159$，且 $\int\hat f(k)dk=f(0)=1$，是归一非负的 Cauchy–Lorentz 密度。配套 Poisson 核 $(1/\pi)\int e^{-ik\mu}/(1+k^2)dk=e^{-|\mu|}$ 由留数验证：$\mu<0$ 时围道闭向上半平面，唯一极点 $k=i$，留数 $e^{\mu}/(2i)$。正性条件恰是恒等式成立的条件：对易情形逐本征值化成 Poisson 核，$\lambda_a\ge 0$ 时两边相等；$\lambda_a=-1$、$t=1$ 时左边 $e^{-1}\approx 0.368$ 而右边 $e^{+1}\approx 2.718$，衰减变增长，相差 $e^2\approx 7.4$ 倍，恒等式失效。不满足时用移位代换 $u=e^{ct}v$、$c\ge -\min_t\lambda_{\min}(L(t))$ 可无条件恢复正性。