先把 $A$ 拆成 $A=H_++iH_-$，其中 $H_+=(A+A^\dagger)/2$、$H_-=(A-A^\dagger)/2i$ 均厄米（易验 $H_+^\dagger=(A^\dagger+A)/2=H_+$），要求 $H_+\succeq 0$，不满足则移位 $u=e^{ct}v$、$c\ge -\lambda_{\min}(H_+)$。引入辅助变量 $p$ 并要求增广解在 $p>0$ 上形如 $v(t,p)=e^{-p}u(t)$，则原解可回读：$u=e^p\cdot v$（任意 $p>0$）或 $u=\int_0^\infty v\,dp$（由 $\int_0^\infty e^{-p}dp=1$）。关键恒等式 $e^{-p}=-\partial_p e^{-p}$ 把 $u=e^p v$ 代入 $\dot u=-(H_++iH_-)u$ 并替换第一项的 $v$，得输运方程 $\partial_t v=H_+\partial_p v-iH_-v$，初值取偶延拓 $e^{-|p|}u_0$；特征线方向 $\partial_t v=\lambda\partial_p v$（$\lambda\ge 0$）表明信息只向负 $p$ 方向传播，负半轴初值不污染正半轴读取。对 $p$ 做傅里叶变换（$\partial_p$ 变乘 $i\eta$）得 $i\partial_t\hat v=(H_--\eta H_+)\hat v$，对每个实 $\eta$ 都是幺正演化；算符形式 $i\partial_t v=\hat{\mathcal H}v$，增广哈密顿量 $\hat{\mathcal H}=H_-\otimes I-H_+\otimes\hat p$ 是厄米算符的张量组合，自动厄米。增广初态的傅里叶谱 $\hat v(0,\eta)=2u_0/(1+\eta^2)$ 正是 Cauchy 核：$\eta=0$ 时为 $2$、$\eta=1$ 时为 $1$、$\eta=3$ 时为 $0.2$，与 LCHS 的 LCU 权重同一函数。