- 命题框（回收公式）：H₊ ⪰ 0 时，对一切 t ≥ 0 与 p > 0：v(t,p) = e^{−p}·e^{−(H₊+iH₋)t}·u₀
- 推导步骤（留数证明，逐行）：
1. 范数预备：X = X† ⪯ 0、Y† = −Y ⇒ ‖e^{X+Y}‖ ≤ 1（Lie 乘积公式 + 谱半径估计）
2. 生成元 −i(H₋−ηH₊)t 写 η = a+ib：Hermitian 部分为 −bt·H₊——上半平面（b ≥ 0）配合 H₊ ⪰ 0 ⇒ ‖e^{−i(H₋−ηH₊)t}‖ ≤ 1
3. 围道闭向上半平面：半圆弧上积分范数 ≤ 2πR/(R−1)² → 0；唯一极点 η = i（来自 1/(1+η²) = 1/((η−i)(η+i))）
4. 留数：Res = 2e^{i·i·p}/(2i)·M(i) = e^{−p}M(i)/i ⇒ 积分 = 2πi·Res = 2π·e^{−p}·M(i)
5. 代入 η = i：−i(H₋ − iH₊)t = −H₊t − iH₋t（用 (−i)×(−i) = −1）⇒ M(i) = e^{−(H₊+iH₋)t}u₀，证毕
- 概率推导（三行演算）：‖w(T)‖² = ‖w(0)‖² ≈ ‖u₀‖²/Δp（用 ∫e^{−2|p|}dp = 1）；‖e^{−p}‖² ≈ 1/(2Δp)；相除得 P ≈ ‖u(T)‖²/(2‖u₀‖²)——Δp、N_p 全消去；演算：无衰减问题（‖u(T)‖ = ‖u₀‖）→ P = 1/2，无需放大
- 四例演算卡（H₊ 逐个算出）：
- 耗散谐振子 G = [0, 1; −1, −γ]：A = −G = [0, −1; 1, γ] → H₊ = diag(0, γ) ⪰ 0 自动满足，H₋ = [0, i; −i, 0] = −Y
- 热方程 uₜ = κΔu：Δ 特征值 −|ξ|² ≤ 0 → H₊ = −κΔ ⪰ 0、H₋ = 0
- 非对称系统 G = [−1, 10; 0, −2]：H₊ = [1, −5; −5, 2]（迹 3、行列式 −23），特征值 (3±√101)/2 → 最小 ≈ −3.52 < 0——稳定（特征值实部为负）≠ 正性，须移位 c ≈ 3.52
- 对流方程 uₜ+cuₓ = 0：中心差分 Dₓᵀ = −Dₓ → H₊ = (cDₓ+cDₓᵀ)/2 = 0——增广退化解耦，概率为常数
- 结果框（五步流程）：Hermitian 分解移位 → QFT 把 p̂ 对角化为 D_η、构造 H_tot = H₋⊗I − H₊⊗D_η → 制备初态 |u₀⟩/‖u₀‖ ⊗ |e^{−|p|}⟩（振幅取 e^{−pⱼ} 而非 e^{−pⱼ/2}）→ Trotter 演化（系统薛定谔演化 + 按 H₊ 特征值左向输运 λδ）→ 逆 QFT 后半轴投影读取；振幅放大 O(q) 轮