第 21 课 · HHL 与量子线性求解器——从相位估计到 QSVT 的五代演进 · 模块四：应用与前沿专题

核心思想：把求逆写进振幅

  • 命题框：谱分解 $A = \sum_j \lambda_j|u_j\rangle\langle u_j|$；$|b\rangle = \sum_j \beta_j|u_j\rangle$，$\beta_j = \langle u_j|b\rangle$
  • 推导步骤（逐行）：
    1. 特征方程 $A|u_j\rangle = \lambda_j|u_j\rangle$ 两边左乘 $A^{-1}$：$A^{-1}|u_j\rangle = (1/\lambda_j)|u_j\rangle$
    2. 线性作用：$A^{-1}|b\rangle = \sum_j \beta_j\cdot A^{-1}|u_j\rangle = \sum_j (\beta_j/\lambda_j)|u_j\rangle$
    3. 结论：求逆在特征基下 = 逐分量乘 $1/\lambda_j$——不显式构造 $A^{-1}$、不逐分量求解
    4. 量子实现：QPE 把 $\lambda_j$ 读入时钟（$|u_j\rangle$ 不动）→ 受控旋转把 $1/\lambda_j$ 写入辅助比特振幅 → 逆 QPE 解纠缠
  • 结果框：目标态 $|x\rangle \propto \sum_j (\beta_j/\lambda_j)|u_j\rangle$；四步管线：制备 $|b\rangle$ → QPE → 受控旋转 → 逆 QPE + 后选择
类型definition-derivation