三个寄存器：B 有 $n = \lceil\log_2 N\rceil$ 个比特载 $b$ 与 $x$，C 有 $m$ 个比特当时钟，另加一个辅助比特；取 $t \le 2\pi/\lambda_{\max}$，使相位 $\phi_j = \lambda_j\cdot t/2\pi \in [0, 1)$。五步状态链，每步写出该步之后的完整态：
- 初始化：$|b\rangle_B |0\rangle_C |0\rangle_{\mathrm{aux}}$；
- QPE：$\sum_j \beta_j|u_j\rangle_B |\tilde{\lambda}_j\rangle_C |0\rangle_{\mathrm{aux}}$，时钟存 $\mathrm{round}(2^m\cdot\phi_j)$ 的二进制；
- 受控旋转：$\sum_j \beta_j|u_j\rangle|\tilde{\lambda}_j\rangle(\sqrt{1 - C^2/\tilde{\lambda}_j^2}\cdot|0\rangle + C/\tilde{\lambda}_j\cdot|1\rangle)_{\mathrm{aux}}$；
- 逆 QPE：时钟归零、辅助比特保留该振幅；
- 测辅助比特：得 $|1\rangle$（概率 $P_1$）时 B 坍缩为 $|x\rangle \propto \sum_j (\beta_j/\tilde{\lambda}_j)|u_j\rangle$。
换算关系 $\tilde{\lambda}_j = (2\pi/(t\cdot 2^m))\cdot\mathrm{round}(2^m\cdot\phi_j)$，误差 $|\tilde{\lambda}_j - \lambda_j| \le \pi/(t\cdot 2^m)$（半个最小刻度），时钟比特数 $m = O(\log(\kappa^2/\varepsilon))$。第 2 步读特征值、第 3 步写倒数、第 4 步解纠缠——五步各自只做一件"态写得出来"的线性操作。