- 命题框：$U = e^{iAt}$（$A$ 厄米 $\Rightarrow$ $U$ 酉）；$U|u_j\rangle = e^{i\lambda_j\cdot t}|u_j\rangle$；QPE 把 $\phi_j = \lambda_j\cdot t/2\pi$ 写入 $m$ 比特时钟
- 推导步骤（四层逐行）：
- Hadamard 层：$H^{\otimes m}|0\rangle^{\otimes m}|u_j\rangle = (1/2^{m/2})\cdot\sum_k|k\rangle|u_j\rangle$（均匀叠加）
- 受控幂次层：第 $\ell$ 比特控制 $U^{2^\ell}$；相位相乘 = 指数相加：$\prod_{\ell: k_\ell=1} e^{i\lambda_j\cdot t\cdot2^\ell} = e^{i\lambda_j\cdot t\cdot\sum_\ell k_\ell\cdot2^\ell} = e^{i\lambda_j\cdot t\cdot k}$——二进制展开 $\sum_\ell k_\ell\cdot2^\ell$ 恰还原整数 $k$
- 识别为 QFT 的像：若 $2^m\cdot\phi_j$ = 整数 $y_j$，时钟态 $(1/2^{m/2})\cdot\sum_k e^{2\pi i\cdot\phi_j\cdot k}|k\rangle = \mathrm{QFT}|y_j\rangle$
- 逆 QFT：$\mathrm{QFT}^\dagger\cdot\mathrm{QFT} = I \Rightarrow$ 精确恢复 $|y_j\rangle$，即 $\phi_j$ 的 $m$ 比特二进制
- 一般情形：$|c_y| = |\sin(\pi\cdot2^m\cdot\delta)| / (2^m\cdot|\sin(\pi\delta)|)$，$\delta = \phi_j - y/2^m$；取最近整数 $|2^m\cdot\delta| \le 1/2$，用 $\sin(\pi x) \ge 2x$（$x \in [0, 1/2]$）与 $|\sin(\pi\delta)| \le \pi|\delta|$ 放缩：$|c_y| \ge 2\cdot2^m|\delta| / (2^m\cdot\pi|\delta|) = 2/\pi$
- 演算行：成功概率下界 $(2/\pi)^2 = 4/\pi^2 = 4/9.87 \approx 0.405$
- 结果框：单次 QPE 以 $\ge 4/\pi^2 \approx 40.5\%$ 给出 $\phi_j$ 的最近 $m$ 比特近似；失败扰动靠多加 $O(\log(1/\varepsilon))$ 个时钟比特压到 $O(\varepsilon)$
类型definition-derivation（本课核心推导，占满）