ODE 初值问题为 $du/dt = f(u, t)$、$u(0) = u_0 \in \mathbb{R}^d$，线性特例 $du/dt = A(t)\cdot u + b(t)$；发展型 PDE 为 $\partial_t u = L[u] + f$。线性判别例：Lotka–Volterra 方程含二次项 $xy$，属非线性（第 11 页 Carleman 的对象）。PDE 按类型分四家：抛物型热方程管扩散、双曲型波方程管振动传播、椭圆型 Poisson 方程无时间变量、混合型 Navier–Stokes 是流体力学。输出演算：设 $u(T) = (3, 4)$，则 $\lVert u(T)\rVert = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$，归一化态 $|u(T)\rangle = (3/5)|1\rangle + (4/5)|2\rangle$，测量概率 $P(1) = (3/5)^2 = 9/25 = 0.36$、$P(2) = (4/5)^2 = 16/25 = 0.64$，和为 1。量子输出约定：只制备与解成比例的态 $|u(T)\rangle$ 或估计泛函 $\langle u(T)|M|u(T)\rangle$；完整读出需 $O(d)$（PDE 为 $O(N^d)$）次测量，会抵消量子加速。