问题定义与输出约定

• 命题框：ODE 初值问题 du/dt = f(u, t)、u(0) = u₀ ∈ ℝᵈ；线性 du/dt = A(t)·u + b(t)；发展型 PDE ∂_t u = L[u] + f、u(x, 0) = u₀(x)
• 推导/演算步骤：

1. 线性判别例：Lotka–Volterra dx/dt = αx − βxy、dy/dt = δxy − γy 含二次项 xy → 非线性（第 11 页 Carleman 的对象）

2. PDE 分类行：抛物型 ∂_t u = αΔu（热）/ 双曲型 ∂_tt u = c²Δu（波）/ 椭圆型 Δu = f（Poisson，无时间变量）/ 混合型（Navier–Stokes）

3. 输出演算（ODE 教材练习 1 第 2 题）：u(T) = (3, 4) → ‖u(T)‖ = √(3²+4²) = √25 = 5 → |u(T)⟩ = (3/5)|1⟩ + (4/5)|2⟩

4. 测量概率：P(1) = (3/5)² = 9/25 = 0.36，P(2) = (4/5)² = 16/25 = 0.64，和 = 0.36+0.64 = 1 ✓

• 结果框：量子输出 = 与解成比例的态 |u(T)⟩ 或泛函 ⟨u(T)|M|u(T)⟩；完整读出需 O(d)（PDE 为 O(N^d)）次测量，会抵消量子加速