第 22 课 · 量子 ODE/PDE 求解器——从哈密顿量模拟到 Schrödingerization · 模块四：应用与前沿专题

经典基线：一阶已是最优

  • 命题框：$p$ 阶单步法局部误差 $O(h^{p+1})$、全局误差 $O(h^p)$ → 步数 $N_{\mathrm{step}} = O(T\cdot\varepsilon^{-1/p})$
  • 推导步骤：
    1. 误差累积：$O(h^{p+1}) \times T/h = O(T\cdot h^p)$
    2. 解不等式 $T\cdot h^p \le \varepsilon$ → $h = O((\varepsilon/T)^{1/p})$ → $N_{\mathrm{step}} = T/h = O(T\cdot\varepsilon^{-1/p})$
    3. 信息基下界：仅 Lipschitz 连续的右端需 $\Theta(1/\varepsilon)$ 次求值 → $p = 1$ 已是阶数最优（更高阶需更高光滑性）
  • 代入演算（$T = 1$、$\varepsilon = 10^{-4}$，ODE 教材练习 2 第 1 题）：
    1. 显式 Euler（$p = 1$）：$N = \varepsilon^{-1} = 10^4$ 步
    2. 四阶 Runge–Kutta（$p = 4$）：$N = \varepsilon^{-1/4} = (10^{-4})^{-1/4} = 10^1 = 10$ 步
    3. PDE 总代价：$O(N^d\cdot T\cdot\varepsilon^{-1/p})$（谱方法多一个 $\log N$ 因子）；量子比特 $n = \lceil d\cdot\log_2 N\rceil$ 只压缩内存，门数是本课后文主线
  • 结果框：真正的瓶颈是 $N^d$；同精度下 Euler 与 RK4 步数差 $10^3$ 倍——阶数有用，但救不了维度
类型worked-example（先推导步数公式，再代入数字）