经典基线：一阶已是最优

• 命题框：p 阶单步法局部误差 O(h^{p+1})、全局误差 O(h^p) → 步数 N_step = O(T·ε^{−1/p})
• 推导步骤：

1. 误差累积：O(h^{p+1}) × T/h = O(T·h^p)

2. 解不等式 T·h^p ≤ ε → h = O((ε/T)^{1/p}) → N_step = T/h = O(T·ε^{−1/p})

3. 信息基下界：仅 Lipschitz 连续的右端需 Θ(1/ε) 次求值 → p = 1 已是阶数最优（更高阶需更高光滑性）

• 代入演算（T = 1、ε = 10⁻⁴，ODE 教材练习 2 第 1 题）：

1. 显式 Euler（p = 1）：N = ε^{−1} = 10⁴ 步

2. 四阶 Runge–Kutta（p = 4）：N = ε^{−1/4} = (10⁻⁴)^{−1/4} = 10¹ = 10 步

3. PDE 总代价：O(N^d·T·ε^{−1/p})（谱方法多一个 log N 因子）；量子比特 n = ⌈d·log₂N⌉ 只压缩内存，门数是本课后文主线

• 结果框：真正的瓶颈是 N^d；同精度下 Euler 与 RK4 步数差 10³ 倍——阶数有用，但救不了维度