第 22 课 · 量子 ODE/PDE 求解器——从哈密顿量模拟到 Schrödingerization · 模块四：应用与前沿专题

情况一：常系数线性 ODE

  • 命题框：$du/dt = A\cdot u$（$A$ 常数）的解 $u(t) = e^{At}\cdot u_0$；$e^{At}$ 为酉 $\Leftrightarrow$ $A = iH$、$H = H^\dagger$（$A$ 反 Hermitian）
  • 推导/演算步骤：
    1. 级数逐项求导：$d/dt(A^k t^k/k!) = A\cdot A^{k-1}t^{k-1}/(k-1)!$，求和后相邻两项相消 → $d/dt\, e^{At} = A\cdot e^{At}$
    2. 酉性验证：$U = e^{iHt}$ → $U^\dagger U = e^{-iHt}\cdot e^{iHt} = I$（$H = H^\dagger$ 时两指数互为逆）
    3. 反例演算（耗散标量）：$A = -\gamma$ → $e^{At} = e^{-\gamma t}$；代入 $\gamma = 1$、$t = 2$ → $e^{-2} \approx 0.135$（模长缩到 13.5%，收缩非酉，谱在左半平面）
    4. 复杂度：块编码模型调用 $O((\lVert A\rVert t + \log(1/\varepsilon))\cdot C_U)$，另付 $e^{\lVert A\rVert t}$ 量级的后选择/振幅放大代价
  • 结果框：反 Hermitian → Trotter/Taylor/QSVT 直接模拟（呼应第 15、18 课）；一般耗散 $A$ → 需要第 8–10 页三项技术
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