情况二 b：Schrödingerization——本课高潮

• 命题框：分解 A = H_R + i·H_I，H_R = (A+A†)/2、H_I = (A−A†)/(2i) 均 Hermitian；增广哈密顿量 𝒦 = H_R⊗P − H_I⊗I（P = −i∂_η 自伴）→ 𝒦 = 𝒦† → e^{−i𝒦t} 酉
• 推导步骤（逐行）：

1. η 表示展开 P：i∂_tΦ = 𝒦Φ 化为输运方程 ∂_tΦ = −H_R·∂_ηΦ + iH_I·Φ（速度 −H_R 的输运 + 相位旋转）

2. 交换情形沿特征线积分：Φ(t,η) = e^{iH_I t}·Φ₀(η − H_R t)

3. 代入初值 Φ₀(η) = u₀·e^{−η}·Θ(η)：e^η·Φ(t,η) = e^{iH_I t}·e^{H_R t}·u₀ = e^{At}·u₀——恢复公式

4. 演算核对 a（纯相位）：A = iω → H_R = 0、𝒦 = −ωI → Φ = e^{iωt}·u₀e^{−η}Θ，恢复 e^ηΦ = e^{iωt}·u₀（正是酉演化 ✓）

5. 演算核对 b（耗散）：A = −γ → Φ(t,η) = u₀·e^{−(η+γt)}·Θ(η+γt)，恢复 e^ηΦ = e^{−γt}·u₀；范数核对 ‖Φ(t)‖² = ‖u₀‖²·∫₀^∞e^{−2u}du = ½‖u₀‖²（与酉性一致 ✓）

• 结果框：任意线性演化（含收缩）被嵌入增广空间的酉动力学；复杂度 O(‖A‖_max·t·polylog(1/ε)·C_U)；后选择概率 ∝ ‖u(t)‖²/‖u₀‖²（解衰减时需振幅放大）