第 22 课 · 量子 ODE/PDE 求解器——从哈密顿量模拟到 Schrödingerization · 模块四：应用与前沿专题

情况二 b：Schrödingerization——本课高潮

  • 命题框：分解 $A = H_R + i\cdot H_I$，$H_R = (A+A^\dagger)/2$、$H_I = (A-A^\dagger)/(2i)$ 均 Hermitian；增广哈密顿量 $\mathcal{K} = H_R\otimes P - H_I\otimes I$（$P = -i\partial_\eta$ 自伴）→ $\mathcal{K} = \mathcal{K}^\dagger$ → $e^{-i\mathcal{K}t}$ 酉
  • 推导步骤（逐行）：
    1. $\eta$ 表示展开 $P$：$i\partial_t\Phi = \mathcal{K}\Phi$ 化为输运方程 $\partial_t\Phi = -H_R\cdot\partial_\eta\Phi + i H_I\cdot\Phi$（速度 $-H_R$ 的输运 + 相位旋转）
    2. 交换情形沿特征线积分：$\Phi(t,\eta) = e^{i H_I t}\cdot\Phi_0(\eta - H_R t)$
    3. 代入初值 $\Phi_0(\eta) = u_0\cdot e^{-\eta}\cdot\Theta(\eta)$：$e^\eta\cdot\Phi(t,\eta) = e^{i H_I t}\cdot e^{H_R t}\cdot u_0 = e^{At}\cdot u_0$——恢复公式
    4. 演算核对 a（纯相位）：$A = i\omega$ → $H_R = 0$、$\mathcal{K} = -\omega I$ → $\Phi = e^{i\omega t}\cdot u_0 e^{-\eta}\Theta$，恢复 $e^\eta\Phi = e^{i\omega t}\cdot u_0$（正是酉演化 ✓）
    5. 演算核对 b（耗散）：$A = -\gamma$ → $\Phi(t,\eta) = u_0\cdot e^{-(\eta+\gamma t)}\cdot\Theta(\eta+\gamma t)$，恢复 $e^\eta\Phi = e^{-\gamma t}\cdot u_0$；范数核对 $\lVert\Phi(t)\rVert^2 = \lVert u_0\rVert^2\cdot\int_0^\infty e^{-2u}\, du = (1/2)\lVert u_0\rVert^2$（与酉性一致 ✓）
  • 结果框：任意线性演化（含收缩）被嵌入增广空间的酉动力学；复杂度 $O(\lVert A\rVert_{\max}\cdot t\cdot\mathrm{polylog}(1/\varepsilon)\cdot C_U)$；后选择概率 $\propto \lVert u(t)\rVert^2/\lVert u_0\rVert^2$（解衰减时需振幅放大）
类型definition-derivation（重点页，占满）