非齐次线性 ODE 用常数变易法处理：拟设 $u = e^{At}\cdot v$，代入后两边的 $A\cdot e^{At} v$ 相消，剩 $dv/dt = e^{-At}\cdot b(t)$，积分回代并用 $e^{At}\cdot e^{-As} = e^{A(t-s)}$ 得 Duhamel 公式 $u(t) = e^{At}\cdot u_0 + \int_0^t e^{A(t-s)}\cdot b(s)\,ds$——解等于初值传播部分加外力历史贡献的加权叠加。演算：$b \equiv b_0$、$A$ 可逆时积分项 $= A^{-1}(e^{At} - I)\cdot b_0$；标量取 $a = -1$、$b_0 = 1$、$u_0 = 0$ 得 $u(t) = 1 - e^{-t}$，$t = 3$ 时 $u(3) = 1 - 0.0498 \approx 0.95$。量子化路径：时间分片加 $p$ 阶量子求积（每片误差 $O(h^{p+1})$），每步作用成为酉演化块的线性组合。LCHS 更进一步，把 $e^{At}$ 严格分解为加权积分 $\int w(\alpha)\cdot e^{-iH(\alpha)t}\,d\alpha$（$H(\alpha)$ 由 $H_R$、$H_I$ 组装），使非齐次项与态制备代价从 $O(T^2/\varepsilon)$ 降到 $O(T\cdot\mathrm{polylog}(T/\varepsilon))$，为已知近最优的时间依赖。