情况四：离散化为线性方程组

• 命题框：梯形离散化 (I − h/2·A_{j+1})·u_{j+1} − (I + h/2·A_j)·u_j = h/2·(b_j + b_{j+1}) + O(h³)；全局误差 O(h²) → 步数 M = O(T/√ε)
• 推导/演算步骤：

1. 堆叠 U = (u₁; …; u_M) → 块下双对角 L·U = d（对角块 I − h/2·A_{j+1}、次对角块 −(I + h/2·A_j)）；每行 ≤ 2s 非零元，log₂(Md) 个量子比特编码——维度 d 的指数内存优势来源

2. 标量条件数推导（a < 0、b = 0）：(L⁻¹)_{ji} = ρ^{j−i}/(1 − ha/2)，等效传播子 ρ = (1+ha/2)/(1−ha/2) ≈ e^{ha}

3. 逆矩阵列范数 = 几何级数 Σ|ρ|^{j−i}/(1−ha/2) = 1/(|a|h) = M/(|a|T)（用 1 − ρ = −ha/(1−ha/2)）；‖L‖ ≤ 2 → κ(L) = Θ(M)

4. 代入演算：a = −1、T = 1、M = 100 → h = 0.01；ρ = 0.995/1.005 ≈ 0.990 ≈ e^{−0.01}；列范数 = 1/(1×0.01) = 100 = M/(|a|T) ✓ → κ(L) = Θ(100)

5. 不稳定情形（a > 0）：|ρ|^M ≈ e^{aT} → κ 最高 e^{Θ(‖A‖T)}；重缩放 γ_j = e^{λt_j} 把传播子压为 ρ′ ≈ e^{(a−λ)h} ≤ 1

• 结果框：历史态 |U⟩ = Σ_j(‖u_j‖/G)|j⟩|u_j⟩ → 测得末时刻概率 P(M) = ‖u(T)‖²/Σ_j‖u_j‖²；缺失的范数由离散 Grönwall 界 ‖u_j‖ ≤ e^{‖A‖t_j}‖u₀‖ + (max‖b‖/‖A‖)(e^{‖A‖t_j}−1) 或重叠估计补齐