- 命题框：梯形离散化 $(I - h/2\cdot A_{j+1})\cdot u_{j+1} - (I + h/2\cdot A_j)\cdot u_j = h/2\cdot(b_j + b_{j+1}) + O(h^3)$；全局误差 $O(h^2)$ → 步数 $M = O(T/\sqrt{\varepsilon})$
- 推导/演算步骤：
- 堆叠 $U = (u_1; \ldots; u_M)$ → 块下双对角 $L\cdot U = d$（对角块 $I - h/2\cdot A_{j+1}$、次对角块 $-(I + h/2\cdot A_j)$）；每行 $\le 2s$ 非零元，$\log_2(Md)$ 个量子比特编码——维度 $d$ 的指数内存优势来源
- 标量条件数推导（$a < 0$、$b = 0$）：$(L^{-1})_{ji} = \rho^{j-i}/(1 - ha/2)$，等效传播子 $\rho = (1+ha/2)/(1-ha/2) \approx e^{ha}$
- 逆矩阵列范数 = 几何级数 $\sum|\rho|^{j-i}/(1-ha/2) = 1/(|a|h) = M/(|a|T)$（用 $1 - \rho = -ha/(1-ha/2)$）；$\lVert L\rVert \le 2$ → $\kappa(L) = \Theta(M)$
- 代入演算：$a = -1$、$T = 1$、$M = 100$ → $h = 0.01$；$\rho = 0.995/1.005 \approx 0.990 \approx e^{-0.01}$；列范数 $= 1/(1\times0.01) = 100 = M/(|a|T)$ ✓ → $\kappa(L) = \Theta(100)$
- 不稳定情形（$a > 0$）：$|\rho|^M \approx e^{aT}$ → $\kappa$ 最高 $e^{\Theta(\lVert A\rVert T)}$；重缩放 $\gamma_j = e^{\lambda t_j}$ 把传播子压为 $\rho' \approx e^{(a-\lambda)h} \le 1$
- 结果框：历史态 $|U\rangle = \sum_j(\lVert u_j\rVert/G)|j\rangle|u_j\rangle$ → 测得末时刻概率 $P(M) = \lVert u(T)\rVert^2/\sum_j\lVert u_j\rVert^2$；缺失的范数由离散 Grönwall 界 $\lVert u_j\rVert \le e^{\lVert A\rVert t_j}\lVert u_0\rVert + (\max\lVert b\rVert/\lVert A\rVert)(e^{\lVert A\rVert t_j}-1)$ 或重叠估计补齐
类型definition-derivation