非线性 ODE 的主流出路是 Carleman 线性化：把 $u$ 的各次幂升格为新变量。标量二次方程 $du/dt = a\cdot u + b\cdot u^2 + c$ 中令 $v_k := u^k$，链式法则逐阶推导（$dv_1/dt = a\cdot v_1 + b\cdot v_2 + c$ 等）得 $d v_k/dt = k(a\cdot v_k + b\cdot v_{k+1} + c\cdot v_{k-1})$——无穷维但三对角，截断到 $K$ 阶即回到线性工具箱。截断精度由解的有界性控制：$g' \le -\mu g + \beta g^2 + c$ 的平衡点 $y^{*\pm} = (\mu \pm \sqrt{\mu^2 - 4\beta c})/(2\beta)$（要求 $\mu^2 \ge 4\beta c$），比较原理给上界 $R$；被扔掉的最高阶满足 $\lVert w_{K+1}\rVert = \lVert u\rVert^{K+1} \le R^{K+1}$ 几何衰减，故 $K = O(\log(1/\varepsilon)/\log(1/R))$。演算：$\varepsilon = 10^{-6}$、$R = 1/2$ 给 $K = \log(10^6)/\log 2 = 13.86/0.693 \approx 20$；Lotka–Volterra（$\alpha = 1$、$\beta = 0.1$、$\delta = 0.075$、$\gamma = 1.5$）平衡点 $(x^*, y^*) = (\gamma/\delta, \alpha/\beta) = (20, 10)$，轨道有界闭合，$T = 10$ 时 $K = 10$ 已足。重缩放 $u = \sigma\cdot\tilde{u}$ 把有效非线性强度从 $\beta$ 压到 $\sigma\beta$，复杂度 $O(\mathrm{poly}(\kappa, \log(1/\varepsilon))\cdot T^{1+o(1)})$。警示：$R \ge 1$ 时截断阶数随 $T$ 增长乃至指数爆炸（Carleman 爆炸）；混沌系统的初值误差放大 $\delta\cdot e^{\lambda t}$ 是信息论障碍，任何计算模型都无法绕过。