非线性 ODE：Carleman 线性化

• 命题框：标量二次 ODE du/dt = a·u + b·u² + c，引入 v_k := u^k → d v_k/dt = k(a·v_k + b·v_{k+1} + c·v_{k−1})：无穷维三对角线性 ODE，截断到 K 阶回到线性工具箱
• 推导/演算步骤：

1. 链式法则逐阶：d v₁/dt = a·v₁ + b·v₂ + c；d v₂/dt = 2u(au+bu²+c) = 2a·v₂ + 2b·v₃ + 2c·v₁（用 v_{k−1}·v₁ = v_k、v_{k−1}·v₂ = v_{k+1}）

2. 有界性：g′ ≤ −μg + βg² + c 的平衡点 y± = (μ ± √(μ²−4βc))/(2β)（要求 μ² ≥ 4βc）→ 比较原理 g(t) ≤ max(g(0), y₋) =: R

3. 截断公式：‖w_{K+1}‖ = ‖u‖^{K+1} ≤ R^{K+1} 几何衰减 → K = O(log(1/ε)/log(1/R))；代入演算 ε = 10⁻⁶、R = ½ → K = log(10⁶)/log2 = 13.86/0.693 ≈ 20

4. 演算（Lotka–Volterra，ODE 教材例子一）：α = 1、β = 0.1、δ = 0.075、γ = 1.5 → 平衡点 x = γ/δ = 1.5/0.075 = 20、y = α/β = 1/0.1 = 10；轨道有界闭合，T = 10 时 K = 10 已足

5. 重缩放：u = σ·ũ → 有效非线性强度 β → σβ（耗散占优时压小 R）；复杂度 O(poly(κ, log(1/ε))·T^{1+o(1)})

• 结果框：非线性 →（Carleman 截断）→ 有限维线性 → 情况一至四任一路线；警示：R ≥ 1 时 K 随 T 增长（Carleman 爆炸）；混沌（Lorenz）初值误差放大 δ·e^{λt} 是信息论障碍，任何计算模型无法绕过