PDE I：热方程与波方程

• 命题框：热方程模式解 û_k(t) = e^{−αk²t}·û_k(0)（由 Δe^{ikx} = −k²·e^{ikx}）；波方程 Hermitian 化 M = [[0, B], [−B, 0]]、B = c·(−Δ)^{1/2} → M† = −M
• 推导/演算步骤（热）：

1. 代入 u = Σ û_k(t)e^{ikx} 逐项比对系数：d û_k/dt = −αk²·û_k → 模长严格衰减——传播子 e^{αΔt} 是收缩半群、非酉

2. 演算（PDE 教材练习 5 第 1 题）：α = 1、k = 2、t = 0.1 → e^{−0.4} ≈ 0.67（该模式幅缩到 67%）

3. 三条量子路线：Schrödingerization（𝒦 = αΔ_h⊗P + 后选择）/ QSVT 多项式逼近 e^{αxt} / Crank–Nicolson (I − αΔt/2·Δ_h)u^{m+1} = (I + αΔt/2·Δ_h)u^m（κ = O(N²)）

• 推导步骤（波）：

4. 朴素降阶生成矩阵 [[0, I], [c²Δ, 0]] 的共轭转置是 [[0, c²Δ], [I, 0]] ≠ 原阵（除非 c²Δ = I）→ 非 Hermitian

5. 换元 ψ = (B·u, v)ᵀ：∂_t(Bu) = Bv、∂_t v = −B(Bu) → M = [[0,B],[−B,0]]；由 B = B† 直接验算 M† = −M → e^{Mt} 酉、能量范数 ‖Bu‖² + ‖v‖² 守恒

6. 单模式演算：u = cos(ckt)·cos(kx) → ‖ψ‖² = c²k²(cos²+sin²) = c²k²；代入 c = 1、k = 2 → ‖ψ‖² = 4 为常数 ✓

• 结果框：热的困难 = 收缩（后选择/振幅放大），波的困难 = 换范数（能量范数）；对流彩蛋：中心差分 D_x† = −D_x → 传播子天然酉（迎风格式破坏反对称 → 改走 Schrödingerization/LCHS）