热方程 $\partial_t u = \alpha\Delta u$：由 $\Delta e^{ikx} = -k^2\cdot e^{ikx}$ 逐项比对系数得 $\hat{u}_k(t) = e^{-\alpha k^2 t}\cdot\hat{u}_k(0)$，波数越高衰减越快；演算 $\alpha = 1$、$k = 2$、$t = 0.1$ 给 $e^{-0.4} \approx 0.67$，该模式幅缩到 67%。传播子 $e^{\alpha\Delta t}$ 是收缩半群、非酉，三条量子路线：Schrödingerization（$\mathcal{K} = \alpha\Delta_h\otimes P$ 加后选择）、QSVT 多项式逼近 $e^{\alpha x t}$、Crank–Nicolson 隐式步进 $(I - \frac{\alpha\Delta t}{2}\Delta_h)u^{m+1} = (I + \frac{\alpha\Delta t}{2}\Delta_h)u^m$（$\kappa = O(N^2)$）。波方程性格相反：朴素降阶的生成矩阵非 Hermitian，正确做法是令 $B = c\cdot(-\Delta)^{1/2}$、换元 $\psi = (B\cdot u, v)^{\top}$，生成矩阵 $M = [[0, B], [-B, 0]]$ 满足 $M^\dagger = -M$，$e^{Mt}$ 酉且能量范数 $\lVert Bu\rVert^2 + \lVert v\rVert^2$ 守恒。单模式演算：$u = \cos(ckt)\cdot\cos(kx)$ 的能量为 $c^2k^2$，取 $c = 1$、$k = 2$ 得 $\lVert\psi\rVert^2 = 4$，为常数。对流方程彩蛋：中心差分 $D_x^\dagger = -D_x$ 使传播子天然酉；换成迎风格式则破坏反对称性，需改走 Schrödingerization/LCHS。