- 命题框：$\rho_\beta = e^{-\beta H}/Z(\beta)$，$Z(\beta) = \mathrm{tr}\, e^{-\beta H}$，$\beta = 1/T$；自由能 $F = -\beta^{-1}\cdot\ln Z$
- 演算步骤（$H = \mathrm{diag}(0, \Delta)$，教材练习 1 同型）：
- $Z(\beta) = e^0 + e^{-\beta\Delta} = 1 + e^{-\beta\Delta}$
- $\beta\Delta = 1$：$Z = 1 + 0.368 = 1.368$ → 权重 $w_0 = 1/1.368 \approx 0.731$，$w_1 = 0.368/1.368 \approx 0.269$（和 $= 1$ ✓）
- $\beta\Delta = 5$：$Z = 1.0067$ → $w_0 \approx 0.993$，$w_1 \approx 0.0067$
- 极限：$\beta\Delta \to \infty$ $\Rightarrow$ $w_0 \to 1$，$\rho_\beta \to |\mathrm{GS}\rangle\langle\mathrm{GS}|$——低温 = 基态制备
- 结果框：难点在 $e^{-\beta H}$ 非酉（第 3 页演算）——所有 Gibbs 制备算法 = 用酉线路实现"按能量压权重"
- 应用行（一行列举，卡片弱化）：材料/化学有限温性质；$Z \to F$ 的 $O(1/\varepsilon)$ 估计（经典蒙特卡洛 $1/\varepsilon^2$）；量子 SDP 对偶原像；Metropolis 不变分布
类型definition-derivation（定义 → 二能级演算）