第 23 课 · Gibbs 态与离散绝热——热平衡的量子制备与绝热演化的离散化 · 模块四：应用与前沿专题

路线一：虚时间滤波

  • 命题框：解析延拓 $t = -i\beta$：$e^{-iHt}$ → $e^{-\beta H}$；滤波映射 $e^{-\beta H}\rho_0 e^{-\beta H}/\mathrm{tr}(e^{-2\beta H}\rho_0)$
  • 推导步骤：
    1. 能量本征基下分子第 $m$ 项 $= e^{-2\beta E_m}|m\rangle\langle m|$——每个分量各乘自己的 $e^{-2\beta E_m}$
    2. 激发/基态权重比 $= e^{-2\beta E_m}/e^{-2\beta E_0} = e^{-2\beta(E_m-E_0)} = e^{-2\beta\Delta}$（$\Delta$ = 谱隙）
    3. 演算：$\beta\Delta = 2$ → $e^{-4} \approx 0.018$——激发权重只剩 1.8%
    4. 解出所需 $\beta$（教材练习 2）：归一化前基态:激发 $= \eta : (1-\eta)e^{-2\beta\Delta}$；要求基态权重 $\ge 1-\varepsilon$ $\Leftrightarrow$ $(1-\eta)e^{-2\beta\Delta} \le \varepsilon\cdot\eta$
    5. 演算：$\eta = 1/2$、$\varepsilon = 0.01$ → $\beta \ge (1/2\Delta)\cdot\ln(100) \approx 2.3/\Delta$
  • 结果框：$\beta \to \infty$ 纯滤波只给基态；有限 $\beta$ 的 Gibbs 态还需除以配分函数权重 → "用多项式实现 $e^{-\beta x}/Z$ 型函数"的信号处理问题（下一页）；NISQ 变分 QITE/QMETTS 无严格保证（一行注）
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