QSVT 实现：多项式逼近与两条组装

• 命题框：f(x) = e^{−βx}，谱区间 [−‖H‖, ‖H‖] 重标到 [−1,1]；切比雪夫截断误差 ≤ 2M·ρ^{−d}
• 推导步骤（Bernstein 椭圆，取椭圆参数 ρ = e）：

1. e^{−βx} 是整函数 → 可取固定大小椭圆；椭圆上 max Re z = (ρ + ρ⁻¹)/2 = (e + 1/e)/2 ≈ 1.543

2. M = max_{E_ρ}|f| ≤ e^{1.543·β‖H‖}

3. 演算：β‖H‖ = 10 → M ≤ e^{15.4} ≈ 5×10⁶

4. 令 2M·ρ^{−d} ≤ ε：d ≥ ln(2M/ε)/ln ρ = ln 2 + 1.543·β‖H‖ + ln(1/ε)

5. 演算：ε = 0.01 → d ≥ 0.69 + 15.4 + 4.6 ≈ 20.7 → d ≈ 21

6. 一般式：d = O(β‖H‖ + log(1/ε))

• 组装两行：后选择——以振幅 ~e^{−βE}/√Z′ 保留能量本征分支，成功率 1/poly、振幅放大拉回；LCU——e^{−βH} 与"剩余部分"组成更大酉（块编码思想），确定性输出混合态、常数更大
• 结果框：查询复杂度对 β 线性 Θ(β)（下界见第 8 页）；精度只付 log(1/ε)（截断）+ 迹距离变体的 1/ε 或 log(1/ε)