目标函数 $f(x) = e^{-\beta x}$ 在谱区间 $[-\lVert H\rVert, \lVert H\rVert]$ 重标到 $[-1,1]$ 后做切比雪夫截断，截断误差 $\le 2M\rho^{-d}$。Bernstein 椭圆分析取 $\rho = e$：$e^{-\beta x}$ 是整函数，椭圆上 $\max\,\mathrm{Re}\,z = (e + 1/e)/2 \approx 1.543$，故 $M \le e^{1.543\cdot\beta\lVert H\rVert}$；$\beta\lVert H\rVert = 10$ 时 $M \le e^{15.4} \approx 5\times10^6$。令 $2M\rho^{-d} \le \varepsilon$ 解出 $d \ge \ln 2 + 1.543\cdot\beta\lVert H\rVert + \ln(1/\varepsilon)$，即 $d = O(\beta\lVert H\rVert + \log(1/\varepsilon))$；$\varepsilon = 0.01$ 时 $d \ge 0.69 + 15.4 + 4.6 \approx 20.7$，取 $d \approx 21$。多项式装入线路有两条组装：后选择以正比 $e^{-\beta E}/\sqrt{Z'}$ 的振幅保留能量分支，成功率 $1/\mathrm{poly}$、振幅放大拉回；LCU 把 $e^{-\beta H}$ 与"剩余部分"拼成更大酉（块编码思想），确定性输出混合态但常数更大。查询复杂度对 $\beta$ 线性 $\Theta(\beta)$（下界见第 8 页），精度只付截断的 $\log(1/\varepsilon)$ 加迹距离变体的 $1/\varepsilon$ 或 $\log(1/\varepsilon)$。