- 命题框：|TFD_β⟩ = (1/√Z)·Σ_E e^{−βE/2}|E⟩_S|E⟩_E
- 推导步骤（部分迹验证）：
1. |TFD⟩⟨TFD| = (1/Z)·Σ_{E,E′} e^{−β(E+E′)/2}|E⟩⟨E′|_S ⊗ |E⟩⟨E′|_E
2. tr_E(|E⟩⟨E′|_E) = δ_{EE′}——所有交叉项湮灭
3. tr_E|TFD⟩⟨TFD| = (1/Z)·Σ_E e^{−βE}|E⟩⟨E| = ρ_β ✓
4. 二能级显式形式（教材练习 4）：|TFD⟩ = cos θ·|00⟩ + sin θ·|11⟩，tan θ = e^{−βΔ/2}
5. 演算：βΔ = 2 → tan θ = e^{−1} ≈ 0.368 → θ ≈ 20.2°；cos²θ ≈ 0.881、sin²θ ≈ 0.119——与第 4 页 ρ_β 权重一致 ✓
- Metropolis 公式卡：提议 E → E′，接受率 A = min(1, e^{−β(E′−E)})；演算：升能 βΔ′ = 1 → A = e^{−1} ≈ 0.37，降能 → A = 1；细致平衡 ⟹ 不动分布 ∝ e^{−βE}——Z 自动约去，不需要配分函数；相位回踢式拒绝避免测量坍缩毁记忆（Temme 2009；Chowdhury–Somma 2017 容错版多项式复杂度，付混合时间）
- 结果框：混合态制备 → 双寄存器纯态（幅度 e^{−βE/2} 光滑无奇偶——GQSP 主场）；或 → 免 Z 的系综采样