第 23 课 · Gibbs 态与离散绝热——热平衡的量子制备与绝热演化的离散化 · 模块四：应用与前沿专题

路线二与三：热场双态与量子 Metropolis

  • 命题框：$|\mathrm{TFD}_\beta\rangle = (1/\sqrt{Z})\cdot\sum_E e^{-\beta E/2}|E\rangle_S|E\rangle_E$
  • 推导步骤（部分迹验证）：
    1. $|\mathrm{TFD}\rangle\langle\mathrm{TFD}| = (1/Z)\cdot\sum_{E,E'} e^{-\beta(E+E')/2}|E\rangle\langle E'|_S \otimes |E\rangle\langle E'|_E$
    2. $\mathrm{tr}_E(|E\rangle\langle E'|_E) = \delta_{EE'}$——所有交叉项湮灭
    3. $\mathrm{tr}_E|\mathrm{TFD}\rangle\langle\mathrm{TFD}| = (1/Z)\cdot\sum_E e^{-\beta E}|E\rangle\langle E| = \rho_\beta$ ✓
    4. 二能级显式形式（教材练习 4）：$|\mathrm{TFD}\rangle = \cos\theta\cdot|00\rangle + \sin\theta\cdot|11\rangle$，$\tan\theta = e^{-\beta\Delta/2}$
    5. 演算：$\beta\Delta = 2$ → $\tan\theta = e^{-1} \approx 0.368$ → $\theta \approx 20.2^\circ$；$\cos^2\theta \approx 0.881$、$\sin^2\theta \approx 0.119$——与第 4 页 $\rho_\beta$ 权重一致 ✓
  • Metropolis 公式卡：提议 $E$ → $E'$，接受率 $A = \min(1, e^{-\beta(E'-E)})$；演算：升能 $\beta\Delta' = 1$ → $A = e^{-1} \approx 0.37$，降能 → $A = 1$；细致平衡 $\Rightarrow$ 不动分布 $\propto e^{-\beta E}$——$Z$ 自动约去，不需要配分函数；相位回踢式拒绝避免测量坍缩毁记忆（Temme 2009；Chowdhury–Somma 2017 容错版多项式复杂度，付混合时间）
  • 结果框：混合态制备 → 双寄存器纯态（幅度 $e^{-\beta E/2}$ 光滑无奇偶——GQSP 主场）；或 → 免 $Z$ 的系综采样
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