β 是硬通货：下界、精度分层与选型
- 下界卡：Ω(β)——热平衡 = 信息扩散到热浴，Lieb–Robinson 光锥以 O(t) 展开 → 建立温度 β 的关联至少"演化 β 那么久"；滤波路线 Θ(β) 顶格
- 精度分层卡：输出 ε-接近的态 → poly·log(1/ε)；输出严格 Gibbs 样本（马尔可夫输出）→ 每样本 1/ε 或混合时间
- 低温极限卡：βΔ → ∞：ρ_β → |GS⟩⟨GS|，复杂度改由谱隙 Δ 与初态重叠决定（衔接 QETU 路线）
- 选型表（三行公式入格）：虚时间滤波/QSVT——输出态、O(β)、polylog 到 1/ε；TFD——纯态双寄存器、O(β)、log(1/ε) 友好；Metropolis——系综采样、Ω(β) + 混合时间、免 Z
- 接口行：ρ_β + 振幅估计 → log Z 到 O(1/ε)（经典蒙特卡洛 1/ε²，相变点定位）；量子 SDP 复杂度 = 制备 × 迭代；验证恒等式 ⟨H²⟩ − ⟨H⟩² = ∂²_β ln Z（作业推导）
类型integration（公式对照页）