- 下界卡：$\Omega(\beta)$——热平衡 = 信息扩散到热浴，Lieb–Robinson 光锥以 $O(t)$ 展开 → 建立温度 $\beta$ 的关联至少"演化 $\beta$ 那么久"；滤波路线 $\Theta(\beta)$ 顶格
- 精度分层卡：输出 $\varepsilon$-接近的态 → $\mathrm{poly}\cdot\log(1/\varepsilon)$；输出严格 Gibbs 样本（马尔可夫输出）→ 每样本 $1/\varepsilon$ 或混合时间
- 低温极限卡：$\beta\Delta \to \infty$：$\rho_\beta \to |\mathrm{GS}\rangle\langle\mathrm{GS}|$，复杂度改由谱隙 $\Delta$ 与初态重叠决定（衔接 QETU 路线）
- 选型表（三行公式入格）：虚时间滤波/QSVT——输出态、$O(\beta)$、polylog 到 $1/\varepsilon$；TFD——纯态双寄存器、$O(\beta)$、$\log(1/\varepsilon)$ 友好；Metropolis——系综采样、$\Omega(\beta)$ + 混合时间、免 $Z$
- 接口行：$\rho_\beta$ + 振幅估计 → $\log Z$ 到 $O(1/\varepsilon)$（经典蒙特卡洛 $1/\varepsilon^2$，相变点定位）；量子 SDP 复杂度 = 制备 $\times$ 迭代；验证恒等式 $\langle H^2\rangle - \langle H\rangle^2 = \partial_\beta^2\ln Z$（作业推导）
类型integration（公式对照页）