绝热定理与绝热量子计算范式（本课核心推导）

• 命题框（Born–Fock 1928）：H(s) 光滑、基态非简并、Δ(s) = E₁−E₀ ≥ Δ_min > 0 ⟹ T ≥ (1/ε)·max_s‖H′(s)‖/Δ_min² 时 |⟨ψ₀(1)|ψ(T)⟩|² ≥ 1−ε
• 推导步骤（逐行，教材"1/Δ_min² 的来源"）：

1. 瞬时本征基展开 |ψ(t)⟩ = Σ_j b_j·e^{−i∫E_j dt′}|j(s(t))⟩，代入薛定谔方程，对角项相消

2. 左乘 ⟨m| 得振幅方程：db_m/dt = −(1/T)·Σ_j b_j·⟨m|∂_s j⟩·e^{i∫(E_m−E_j)dt′}

3. 关键恒等式：对 H|j⟩ = E_j|j⟩ 关于 s 求导再投影 ⟨m|：⟨m|H′|j⟩ + E_m⟨m|∂_s j⟩ = E_j⟨m|∂_s j⟩ ⟹ ⟨m|∂_s j⟩ = ⟨m|H′|j⟩/(E_j−E_m)——第 1 个 1/Δ

4. 一阶近似 b₀ ≈ 1：跃迁振幅 b_m(1) ≈ ∫₀¹ g(s)·e^{−iTΦ(s)}ds，其中 g = ⟨m|H′|0⟩/(E₀−E_m)、Φ′ = Δ_{m0} ≥ Δ_min

5. 分部积分（利用 d(e^{−iTΦ})/ds = −iT·Φ′·e^{−iTΦ}）：|b_m(1)| ≤ (1/T)·[(|g(0)|+|g(1)|)/Δ_min + ∫|g′|/Δ_min ds] ≤ max_s‖H′‖/(T·Δ_min²)——第 2 个 1/Δ

6. 令右端 ≤ ε：T = Ω(max_s‖H′‖/(ε·Δ_min²))——能隙以 −2 次幂进入绝热时间

• 结果框：范式 H(s) = (1−s)H_B + sH_P，H_B = −Σᵢ Xᵢ、初态 |+⟩^{⊗n}，‖H′‖ = ‖H_P−H_B‖（归一化约定下 T = O(1/Δ_min²)）；连续演化 𝒯e^{−i∫Hdt} 不能上门模型——必须离散化（后四页）
• 严谨性一行：朴素条件非必要非充分（Marzlin–Sanders 2004 反例）；Jansen–Ruskai–Bhatt：积分范数 + ‖H″‖/Δ_min³ 修正