第 23 课 · Gibbs 态与离散绝热——热平衡的量子制备与绝热演化的离散化 · 模块四：应用与前沿专题

方法三与四：QAOA 与变分绝热

  • 命题框：分段绝热——$[0,1]$ 切 $p$ 段、第 $k$ 段 $H_k$ 常数，$U = U_p\cdots U_1$，$U_k = e^{-iH_k\cdot T/p}$；误差分析与第 10 页完全相同（冻结 $\lVert H'\rVert/2p$、分裂 $T^2\lVert[H_B,H_P]\rVert/4p$、绝热 $\lVert H'\rVert/(T\Delta_{\min}^2)$）
  • 推导步骤（QAOA 对应）：
    1. QAOA 拟设：$|\gamma,\beta\rangle = \prod_{l=1}^p [e^{-i\gamma_l H_P}\cdot e^{-i\beta_l H_B}]|+\rangle^{\otimes n}$
    2. 取 $\gamma_l = s_l T/p$、$\beta_l = (1-s_l)T/p$：每层恰为绝热段 $e^{-iH_l T/p}$ 的一阶 Trotter 分裂（两项次序差只影响 $O(\delta^2)$）
    3. $\Rightarrow$ 单调参数下的 QAOA 完全覆盖离散绝热演化
    4. 表达力：允许独立优化每个 $\gamma_l$、$\beta_l$、不受单调约束 → 严格强于离散绝热；代价 = 经典外环优化
    5. VAQC：$H(s) = (1-f(s;\theta))H_B + f(s;\theta)H_P$，$f(0) = 0$、$f(1) = 1$（样条/小型神经网络）→ 路径可绕开小能隙区、每段浅、NISQ 兼容；代价：困难转移给经典优化、无全局最优保证
  • 结果框：三方案对照——连续绝热（专用 AQC 设备，$O(g^{-2})$）/ 离散绝热-Trotter（通用门模型，$O(g^{-2})$ + 三项预算）/ QAOA-VAQC（NISQ，$2p$ 参数、可绕小能隙）
类型definition-derivation（公式对应）