能隙标度与局域绝热调度

• 命题框（Roland–Cerf 2002 逐点条件）：|⟨1(s)|H′(s)|0(s)⟩|/Δ(s)² · (ds/dt) ≤ ε（∀s）
• 推导步骤：

1. 对 ds/dt 解出并分离变量：T = ∫ds/(ds/dt) = (1/ε)·∫₀¹|⟨1|H′|0⟩|/Δ² ds ≤ (1/ε)·∫₀¹‖H′‖/Δ² ds

2. 被积函数集中在 Δ_min 附近 → 退回 ‖H′‖/(εΔ_min²)；能隙只在窄区间变小 → 积分由 Δ_min 的低次幂控制

3. 演算（TFIM 光滑化，教材例子二）：Δ²(s) ≈ 4(2s−1)² + 4π²/n²；换元 u = 2s−1，用 ∫du/(u²+a²) = (1/a)·arctan(u/a)：T ≈ (n/4ε)·(n/π)·2·arctan(n/π) = O(n²/ε)；n = 100、ε = 0.1 时 arctan(31.8) ≈ π/2 → T ≈ 2.5×10⁴，线性调度 O(n³) 高一个 n 因子（~10⁶ 量级）

• 能隙表（五行，复杂度入格）：搜索线性调度 g = O(N^{−1/2}) → T = O(N)；搜索局域调度 → O(√N)（= Grover）；一维 TFIM 临界 g = O(1/n) → 局域 O(n²)；随机 SAT 一阶相变：可指数小 → 指数；一般局域哈密顿量（QMA 完全）：可指数小 → 指数
• 结果框：许多 NP-Hard 问题能隙被认为指数小 → 绝热无指数加速；量子加速只在能隙多项式小的场合