第 24 课 · 不可克隆与量子密钥分发——量子信息的守护者与物理定律背书的保密通信 · 模块四：应用与前沿专题

不可克隆定理：三行内积证明

  • 命题框：不可克隆定理（Wootters & Zurek; Dieks, 1982）——不存在酉算子 $C$ 对希尔伯特空间中所有态满足 $C(|\psi\rangle|0\rangle) = |\psi\rangle|\psi\rangle$
  • 推导步骤（逐行，等号对齐感）：
    1. 反设 $C$ 同时克隆 $|\psi\rangle$ 与 $|\phi\rangle$：$C|\psi\rangle|0\rangle = |\psi\rangle|\psi\rangle$，$C|\phi\rangle|0\rangle = |\phi\rangle|\phi\rangle$
    2. 酉算子保内积——输入端：$(\langle\psi|\langle 0|)(|\phi\rangle|0\rangle) = \langle\psi|\phi\rangle\cdot\langle 0|0\rangle = \langle\psi|\phi\rangle$
    3. 输出端：$(\langle\psi|\langle\psi|)(|\phi\rangle|\phi\rangle) = \langle\psi|\phi\rangle\cdot\langle\psi|\phi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle^2$
    4. 令 $c = \langle\psi|\phi\rangle$：$c = c^2 \Rightarrow c(c-1) = 0 \Rightarrow c = 0$ 或 $c = 1$
  • 演算（反例代入）：$|0\rangle$ 与 $|+\rangle = (|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2}$：$c = \langle 0|+\rangle = 1/\sqrt{2} \approx 0.707$，而 $c^2 = 1/2 \ne c$——既不完全相同也不正交，克隆不可能
  • 结果框：可被同一台装置克隆的态，要么完全相同（$c=1$），要么相互正交（$c=0$）；一切非正交族（$0<|c|<1$）整体不可克隆
类型definition-derivation（重点页，占满）