第 24 课 · 不可克隆与量子密钥分发——量子信息的守护者与物理定律背书的保密通信 · 模块四：应用与前沿专题

定理的适用边界：正交态与已知态

  • 题面：定理禁止的是对未知任意态的普适复制——用 CNOT 逐项验证"正交集上克隆成功、非正交态上失效"
  • 演算（逐项代入）：
    1. 正交基矢：$\mathrm{CNOT}|x\rangle|0\rangle = |x\rangle|x\rangle$，$x \in \{0,1\}$——$|0\rangle|0\rangle$→$|0\rangle|0\rangle$、$|1\rangle|0\rangle$→$|1\rangle|1\rangle$ ✓（这正是 CNOT 门；经典比特复制是量子克隆在正交集上的特例）
    2. 非正交输入：$|+\rangle|0\rangle = (|00\rangle+|10\rangle)/\sqrt{2}$ →CNOT→ $(|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt{2} = |\Phi^+\rangle$（纠缠态，不是克隆）
    3. 与目标克隆 $|+\rangle|+\rangle = (|00\rangle+|01\rangle+|10\rangle+|11\rangle)/2$ 比对：$|\langle\Phi^+|++\rangle|^2 = |(1/\sqrt{2})(1/2+1/2)|^2 = 1/2$
    4. 单份约化态：$\mathrm{Tr}_1|\Phi^+\rangle\langle\Phi^+| = I/2 \Rightarrow F(|+\rangle, I/2) = \langle+|I/2|+\rangle = 1/2$
  • 结果框：正交的给克隆、非正交的给纠缠（保真度 $1/2$）；已知态可随意制备（知道制备线路即可量产）——定理针对的是"未知的量子态"
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