定理的适用边界:正交态与已知态

1. 正交基矢:CNOT|x⟩|0⟩ = |x⟩|x⟩,x ∈ {0,1}——|0⟩|0⟩→|0⟩|0⟩、|1⟩|0⟩→|1⟩|1⟩ ✓(这正是 CNOT 门;经典比特复制是量子克隆在正交集上的特例)

2. 非正交输入:|+⟩|0⟩ = (|00⟩+|10⟩)/√2 →CNOT→ (|00⟩+|11⟩)/√2 = |Φ⁺⟩(纠缠态,不是克隆)

3. 与目标克隆 |+⟩|+⟩ = (|00⟩+|01⟩+|10⟩+|11⟩)/2 比对:|⟨Φ⁺|++⟩|² = |(1/√2)(1/2+1/2)|² = 1/2

4. 单份约化态:Tr₁|Φ⁺⟩⟨Φ⁺| = I/2 ⇒ F(|+⟩, I/2) = ⟨+|I/2|+⟩ = 1/2

类型worked-example