第 24 课 · 不可克隆与量子密钥分发——量子信息的守护者与物理定律背书的保密通信 · 模块四：应用与前沿专题

放宽"完美"：概率克隆与近似克隆

  • 公式卡：Bužek–Hillery 1996 普适量子克隆机——对任意输入输出两份，单份最优保真度 $F_d = (2d+1)/(3d)$；Duan–Guo 1998 概率克隆——线性无关态集可"克隆或宣布失败"，$d$ 维空间线性无关最多 $d$ 个态
  • 演算（d 维公式代入）：
    1. $d=2$：$F = (2\cdot2+1)/(3\cdot2) = 5/6 \approx 0.833$
    2. $d=3$：$F = (2\cdot3+1)/(3\cdot3) = 7/9 \approx 0.778$
    3. $d\to\infty$：$F \to 2/3$——维度越高天花板越接近 1，但永远到不了
    4. 对照本课已算的"土办法"：先测后制 $F = 1/2$、CNOT 对 $|+\rangle$ $F = 1/2$——都远低于 $5/6$
  • 结构验证（教材练习 5 的验证路径）：$\rho_{\mathrm{out}} = (2/3)|\psi\psi\rangle\langle\psi\psi| + (1/6)(I\otimes I - |\psi\psi\rangle\langle\psi\psi|)$ → 对一份求部分迹（$\mathrm{Tr}_2[I\otimes I] = 2I$）→ 约化态整理为 $(5/6)|\psi\rangle\langle\psi| + (1/6)|\psi_\perp\rangle\langle\psi_\perp|$ → $F = \langle\psi|\rho|\psi\rangle = 5/6$ ✓
  • 结果框：完美 1 被禁止，$5/6$ 是物理允许的极限；量子纠错码字指数多、不满足线性无关——"随机化 + 声明失败"绕行路线被封死（$5/6$ 在第 8 章量子数据增强再露面）
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