第 24 课 · 不可克隆与量子密钥分发——量子信息的守护者与物理定律背书的保密通信 · 模块四：应用与前沿专题

对偶禁令：不可删除定理

  • 命题框：不可删除定理——不存在酉算子 $D$ 对所有 $|\psi\rangle$ 满足 $D(|\psi\rangle|\psi\rangle) = |\psi\rangle|0\rangle$（两份相同拷贝合并回收为一份 + 空白）
  • 推导步骤（与 no-cloning 逐行对偶）：
    1. 反设 $D$ 存在：$D|\psi\rangle|\psi\rangle = |\psi\rangle|0\rangle$，$D|\phi\rangle|\phi\rangle = |\phi\rangle|0\rangle$
    2. 输入端内积：$\langle\psi\psi|\phi\phi\rangle = \langle\psi|\phi\rangle\cdot\langle\psi|\phi\rangle = c^2$
    3. 输出端内积：$\langle\psi 0|\phi 0\rangle = \langle\psi|\phi\rangle\cdot\langle 0|0\rangle = c$
    4. 酉保内积 $\Rightarrow c^2 = c \Rightarrow c \in \{0,1\}$——对 $0<|c|<1$ 矛盾，非正交的两份拷贝无法确定性合并
  • 对照行：克隆 $c \to c^2$、删除 $c^2 \to c$——两条禁令是同一个方程 $c = c^2$ 的两个方向
  • 结果框：量子信息既不能无中生有、也不能凭空湮灭——非正交量子信息是守恒资源；no-cloning 由"一条禁令"升级为量子信息论资源理论的起点
类型definition-derivation（对偶内积论证）