递归二分：把概率装进一棵树

• 命题框：R_y(θ)|0⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + sin(θ/2)|1⟩；子树概率 p_w = Σ_{j≺w} p_j 且 p_w0 + p_w1 = p_w（前缀集合被 w0、w1 二等分）
• 推导步骤（逐行）：

1. 选角：取 cos(θ_w/2) = √(p_w0/p_w)、sin(θ_w/2) = √(p_w1/p_w)；平方和 = (p_w0+p_w1)/p_w = 1 ✓ → θ_w = 2·arcsin√(p_w1/p_w)

2. 振幅搬运：√p_w·|w⟩|0⟩ → √p_w·(√(p_w0/p_w)|w0⟩ + √(p_w1/p_w)|w1⟩) = √p_w0·|w0⟩ + √p_w1·|w1⟩

3. 互不干扰：不同前缀 w 的旋转以不同控制取值为条件、作用在正交子空间 → 归纳到 ℓ = n 得 Σ_j √p_j|j⟩

4. 复振幅：振幅树后追加相位树，至多 2ⁿ−1 个受控相位门（固定全局相位 φ₀ = 0）

• 演算（N = 4，p = (0.4, 0.1, 0.25, 0.25)）：

1. 第 1 层：p_0 = 0.4+0.1 = 0.5 → θ_∅ = 2·arcsin√0.5 = 2×(π/4) = π/2 ≈ 1.5708

2. 第 2 层左：p_01/p_0 = 0.1/0.5 = 0.2 → θ_0 = 2·arcsin√0.2 ≈ 2×0.4636 = 0.9273（cos(θ_0/2) = √0.8 ≈ 0.8944、sin(θ_0/2) = √0.2 ≈ 0.4472）

3. 第 2 层右：p_10 = p_11 = 0.25 → 条件概率各 0.5 → θ_1 = π/2

4. 验证：振幅 √(0.5×0.8) = √0.4、√(0.5×0.2) = √0.1、√(0.5×0.5) = 0.5、0.5 → 模方恰为 (0.4, 0.1, 0.25, 0.25) ✓

• 结果框：θ_w = 2·arcsin√(p_w1/p_w)——每层旋转角由条件概率完全确定，制备 = 在概率二叉树上按比例分配质量