第 25 课 · 态制备、层析与 QRAM——量子数据的进与出 · 模块四：应用与前沿专题

紧门数与下界：$\Theta(2^n)$ 逃不掉

  • 命题框（定理）：任意 $n$ 比特纯态可用 $2^n-2$ 个 CNOT 与 $2^{n+1}-2n$ 个单比特旋转精确制备；任何通用构造需 $G_1 \ge (2^{n+1}-2)/3$ 个单比特门
  • 推导步骤（合并构造 → 计数 → 下界）：
    1. 合并：同层旋转作用在同一目标比特、只以控制取值区分 → 均匀受控旋转；单控制双角度分解 $(R_y(a)\otimes I)\cdot\mathrm{CNOT}\cdot(R_y(b)\otimes I)\cdot\mathrm{CNOT}$，$a = (\theta_0+\theta_1)/2$、$b = (\theta_0-\theta_1)/2$
    2. 验证：控制 = $|0\rangle$ → $R_y(a)\cdot R_y(b) = R_y(a+b) = R_y(\theta_0)$；控制 = $|1\rangle$ → 中间旋转被 CNOT 共轭为 $XR_y(b)X = R_y(-b)$（由 $XYX = -Y$）→ $R_y(a)\cdot R_y(-b) = R_y(\theta_1)$ ✓
    3. 计数：第 $\ell$ 层 $2^{\ell-1}$ 个 CNOT → $\sum_{\ell=2}^{n} 2^{\ell-1} = 2^n - 2$；沿 Gray 码推广后单比特旋转精确计数 $2^{n+1} - 2n$（Shende–Bullock–Markov；Plesch–Brukner 的 Givens 旋转方案同阶 $O(N)$）
    4. 下界（参数计数）：$n$ 比特纯态全体（模去全局相位）= 复射影空间 $\mathbb{C}P^{2^n-1}$，实维 $2\cdot2^n - 2 = 2^{n+1} - 2$；$G_1$ 个任意单比特门供 $3G_1$ 个实参数 → 满射要求 $3G_1 \ge 2^{n+1} - 2$
  • 演算（$n = 4$）：CNOT $= 2^4-2 = 14$；单比特旋转 $= 2^5-2\times4 = 24$；流形实维 $2^5-2 = 30$ → 下界 $G_1 \ge 30/3 = 10$——可达与下界同指数阶
  • 结果框：通用态制备被夹死在 $\Theta(2^n)$ 门、深度 $O(N)$；要 $\Theta(n)$ 深度须付 $O(2^n)$ 辅助比特（第 7 页）
类型definition-derivation