- 命题框（霍夫丁界）：X₁, …, X_m 独立、取值于 [a, b] → Pr[|X̄−μ| ≥ ε] ≤ 2·exp(−2mε²/(b−a)²)
- 推导步骤：
1. 泡利读出 X ∈ {−1, +1} → a = −1、b = 1、(b−a)² = 4 → Pr ≤ 2·e^{−mε²/2}
2. 令右端 = 失败概率 δ → 解出 m = 2·ln(2/δ)/ε² = O(log(1/δ)/ε²)
3. 联合界：4ⁿ 个串各分失败概率 δ/4ⁿ → 单串 m = O((n+log(1/δ))/ε²)；总副本 (4ⁿ−1)·m = O(4ⁿ·(n+log(1/δ))/ε²)
4. Frobenius 精度：需每系数 Δ_P ≤ ε·2^{−n/2} → 每串 O(2ⁿ/ε²) → 朴素 O(N³/ε²)；Haah 等信息论最优 Θ(N²/ε²)
- 演算（δ = 0.01、ε = 0.1）：m = 2×ln 200/0.01 = 2×5.298/0.01 ≈ 1060 次——单个泡利期望值就要上千次测量
- ℓ∞ 路线卡：对角元 = 输出分布，m_diag = ln(2N/δ)/(2ε²) 份副本同时拿下全部 N 个；非对角 O = |x⟩⟨y|+|y⟩⟨x| → tr(Oρ) = 2·Re ρ_xy、O′ = i(|x⟩⟨y|−|y⟩⟨x|) → tr(O′ρ) = 2·Im ρ_xy；k 个矩阵元 O(k/ε²)；全部矩阵元 O(n·(3/2)ⁿ/ε²)（方差来源第 14 页）
- 稀疏卡：泡利基 s-稀疏 → O(s·log s/ε²)；压缩感知在 RIP 条件下 O(s·log N) 次随机测量（log N 来自命中支撑的耦合收集效应）
- 结果框：复杂度阶梯 4ⁿ → (3/2)ⁿ → s·poly → 3ᵏ·log M——问得越少，付得越少