霍夫丁界是底座：独立变量 $X_1,\ldots,X_m$ 取值于 $[a,b]$ 时 $\Pr[|\bar X-\mu|\ge\varepsilon]\le 2\exp(-2m\varepsilon^2/(b-a)^2)$。泡利读出 $X\in\{-1,+1\}$ 代入 $a=-1$、$b=1$ 得 $2e^{-m\varepsilon^2/2}$，令其等于失败概率 $\delta$ 解出 $m=2\ln(2/\delta)/\varepsilon^2$；演算 $\delta=0.01$、$\varepsilon=0.1$：$m=2\times\ln 200/0.01=2\times 5.298/0.01\approx 1060$——单个泡利期望值就要上千次测量。联合界让 $4^n$ 个串各分失败概率 $\delta/4^n$，总副本 $(4^n-1)\cdot m=O(4^n(n+\log(1/\delta))/\varepsilon^2)$；若要求 Frobenius 精度需每系数误差 $\le\varepsilon\cdot 2^{-n/2}$，朴素涨到 $O(N^3/\varepsilon^2)$，Haah 等的信息论最优为 $\Theta(N^2/\varepsilon^2)$。中间路线：$\ell_\infty$ 层析的对角元即计算基输出分布，$\ln(2N/\delta)/(2\varepsilon^2)$ 份副本同时拿下全部 $N$ 个；非对角元经观测量 $|x\rangle\langle y|+|y\rangle\langle x|$ 与 $i(|x\rangle\langle y|-|y\rangle\langle x|)$ 的期望分别给 $2\mathrm{Re}\,\rho_{xy}$、$2\mathrm{Im}\,\rho_{xy}$，$k$ 个矩阵元 $O(k/\varepsilon^2)$，全部矩阵元 $O(n\cdot(3/2)^n/\varepsilon^2)$；泡利基 $s$-稀疏只需 $O(s\log s/\varepsilon^2)$，压缩感知在 RIP 条件下 $O(s\log N)$ 次随机测量。复杂度阶梯 $4^n\to(3/2)^n\to s\cdot\mathrm{poly}\to 3^k\cdot\log M$：问得越少，付得越少。