经典影子：不重建 ρ，只问要问的

• 命题框（协议）：单副本影子 ρ̂ = ⊗_i(3·U_i†|b_i⟩⟨b_i|U_i − I)，U_i ∈ {I, H, HS†}；E[ρ̂] = ρ
• 推导步骤：

1. 五步协议：每副本逐比特随机选 X/Y/Z 基 → 计算基测得 b → 算影子 ρ̂ → 重复 N_s 次 → 对任意 O_k 取均值估计 tr(O_kρ)

2. 无偏性（单比特）：Pr(s|b) = (1+s·r_b)/2 → Σ_s Pr(s|b)·|s_b⟩⟨s_b| = I/2 + r_b·σ_b/2 → E[ρ̂] = (1/3)Σ_b[3(I/2+r_bσ_b/2) − I] = I/2 + (xX+yY+zZ)/2 = ρ

3. 方差（权重 k 泡利观测量）：全部 k 个支撑比特恰好测对基的概率 3⁻ᵏ，此时 tr(Pρ̂) = 3ᵏ·Π_i s_i，否则 = 0 → E[(tr(Pρ̂))²] = 3²ᵏ·3⁻ᵏ = 3ᵏ → Var ≤ 3ᵏ

4. 中位数均值：组大小 m = 4·3ᵏ/ε²（Chebyshev ⇒ 组失败率 ≤ 1/4）、组数 O(log(M/δ)) → N_s = O(3ᵏ·log(M/δ)/ε²)（Huang–Kueng–Preskill 2020）

• 演算：

1. k = 2 → Var ≤ 3² = 9、组大小 m = 4×9/ε² = 36/ε²

2. 对照：逐个测量 O(M/ε²) vs 影子 O(3ᵏ·log M/ε²)——log M 是全部红利；Aaronson 2018 先驱结果 O(log M·log⁴N/ε⁵)

• 提醒卡：满权重 k = n → 方差 3ⁿ——影子不免费给全部泡利系数；矩阵元二阶矩 ≤ (3/2)ⁿ（单比特检验：非对角恰为 3/2）；实际只存 n 比特测量串；保真度 M = 1 → O(1/ε²)；2021 年 IBM 在 27 比特设备验证
• 结果框：M 个局域观测量的代价只有 log M——不重建 ρ，只估计要问的函数值