- 命题框（协议）：单副本影子 $\hat{\rho} = \otimes_i(3\cdot U_i^\dagger|b_i\rangle\langle b_i|U_i - I)$，$U_i \in \{I, H, HS^\dagger\}$；$\mathbb{E}[\hat{\rho}] = \rho$
- 推导步骤：
- 五步协议：每副本逐比特随机选 X/Y/Z 基 → 计算基测得 $b$ → 算影子 $\hat{\rho}$ → 重复 $N_s$ 次 → 对任意 $O_k$ 取均值估计 $\mathrm{tr}(O_k\rho)$
- 无偏性（单比特）：$\Pr(s|b) = (1+s\cdot r_b)/2$ → $\sum_s \Pr(s|b)\cdot|s_b\rangle\langle s_b| = I/2 + r_b\cdot\sigma_b/2$ → $\mathbb{E}[\hat{\rho}] = (1/3)\sum_b[3(I/2+r_b\sigma_b/2) - I] = I/2 + (xX+yY+zZ)/2 = \rho$
- 方差（权重 $k$ 泡利观测量）：全部 $k$ 个支撑比特恰好测对基的概率 $3^{-k}$，此时 $\mathrm{tr}(P\hat{\rho}) = 3^k\cdot\Pi_i s_i$，否则 = 0 → $\mathbb{E}[(\mathrm{tr}(P\hat{\rho}))^2] = 3^{2k}\cdot3^{-k} = 3^k$ → $\mathrm{Var} \le 3^k$
- 中位数均值：组大小 $m = 4\cdot3^k/\varepsilon^2$（Chebyshev $\Rightarrow$ 组失败率 $\le 1/4$）、组数 $O(\log(M/\delta))$ → $N_s = O(3^k\cdot\log(M/\delta)/\varepsilon^2)$（Huang–Kueng–Preskill 2020）
- 演算：
- $k = 2$ → $\mathrm{Var} \le 3^2 = 9$、组大小 $m = 4\times9/\varepsilon^2 = 36/\varepsilon^2$
- 对照：逐个测量 $O(M/\varepsilon^2)$ vs 影子 $O(3^k\cdot\log M/\varepsilon^2)$——$\log M$ 是全部红利；Aaronson 2018 先驱结果 $O(\log M\cdot\log^4 N/\varepsilon^5)$
- 提醒卡：满权重 $k = n$ → 方差 $3^n$——影子不免费给全部泡利系数；矩阵元二阶矩 $\le (3/2)^n$（单比特检验：非对角恰为 3/2）；实际只存 $n$ 比特测量串；保真度 $M = 1$ → $O(1/\varepsilon^2)$；2021 年 IBM 在 27 比特设备验证
- 结果框：$M$ 个局域观测量的代价只有 $\log M$——不重建 $\rho$，只估计要问的函数值
类型definition-derivation（协议 + 两条关键推导）