VQE（二）：分子哈密顿量进线路

• 命题框：H_mol = Σ_pq h_pq·a†_p a_q + ½·Σ_pqrs h_pqrs·a†_p a†_q a_r a_s + h_nuc（Born-Oppenheimer 近似；½ 来自电子对重复计数）
• 推导步骤（JW 映射 + 反对易验证）：

1. Jordan-Wigner：a†_j = (∏_{k<j} Z_k)⊗σ⁺_j，σ± = (X∓iY)/2

2. 恒等式演算：½(X−iY) = ½[(|0⟩⟨1|+|1⟩⟨0|) − i(−i|0⟩⟨1|+i|1⟩⟨0|)] = |1⟩⟨0| = σ⁺

3. 验证 i = j：{a_j,a†_j} = σ⁻σ⁺ + σ⁺σ⁻ = |0⟩⟨0| + |1⟩⟨1| = I ✓

4. 验证 i < j：两条 Z 串重叠处 Z² = I 抵消，剩余公共 Z 串含 Z_i，Z_i 与 σ_i⁻ 反对易 → 两项相消 → {a_i,a†_j} = 0 ✓——JW 是费米子代数的忠实表示

5. 映射后 H = Σ_k α_k·P_k，泡利串条数 L = O(n⁴)（双电子积分指标 pqrs）；代价：算符权重 O(n)，Bravyi-Kitaev 降到 O(log n)

• 演算卡（H₂）：STO-3G 基组 2 空间轨道 = 4 自旋轨道 = 4 比特；参考态 |Φ₀⟩ = |0011⟩；对称性下单激发梯度为零 → UCCSD 只含 1 个双激发参数 θ；E₀ ≈ −1.1373 Ha（FCI 精确值），单参数 UCCSD 在精确 Trotter 极限下达同一值
• 结果框：测量 ⟨H⟩ = Σ_k α_k⟨P_k⟩ 逐串（或对易组）进行；量子部分制备 + 测量，经典部分优化，循环至收敛