VQE（四）：梯度与测量的成本表
- 命题框（参数平移规则）：G_k² = I 时 ∂⟨H⟩/∂θ_k = ½[⟨H⟩(θ_k+π/2) − ⟨H⟩(θ_k−π/2)]；谱隙 Δ 情形 (Δ/4)·[·]_{±π/Δ}——能量函数本是频率 Δ/2 的正弦波；每参数 2 次电路执行，P 个参数共 2P 次
- 演算卡一（PSR 验证）：E(θ) = ⟨0|R_x(θ)†·Z·R_x(θ)|0⟩ = cos θ；PSR 给 ½[cos(θ+π/2) − cos(θ−π/2)] = ½[−sin θ − sin θ] = −sin θ = d(cos θ)/dθ ✓——解析梯度，非有限差分
- 推导卡（测量次数）：单次测量 X = ±1、X² = 1 → Var[X] = 1−⟨P_k⟩² ≤ 1；m 次均值方差 Var/m → 标差 ≤ ε ⇔ m ≥ Var/ε²；Chebyshev 与 Hoeffding 都给 m = O(1/ε²)（Hoeffding：m ≥ 2ln(2/δ)/ε²）
- 演算卡二：⟨P_k⟩ = 0（Var = 1）、ε = 0.01 → m ≥ 1/(0.01)² = 10⁴ 次测量/串
- 推导卡（最优分配）：min Σm_k s.t. Σ α_k²σ_k²/m_k = ε² → 拉格朗日 1 − λ·α_k²σ_k²/m_k² = 0 → m_k ∝ |α_k|σ_k；总次数 (Σ|α_k|σ_k)²/ε² ≤ O(n⁴/ε²)
- 分组卡：QWC 字符串同轮测量（如 {X₀X₁, X₀, X₁} 同换 X 基）；典型分子独立测量轮数降到 O(n³) 量级
类型definition-derivation