- 命题框：$\max_z C(z)$ → 对角成本哈密顿量 $H_C = \sum_z C(z)|z\rangle\langle z|$，满足 $H_C|z\rangle = C(z)|z\rangle$
- 推导步骤（MaxCut 逐行）：
- 切断指示符（自旋约定 $b_i = (1 - s_i)/2$，$s_i = \pm 1$）：$\mathbb{1}[b_i \ne b_j] = b_i + b_j - 2 \cdot b_i \cdot b_j = (1 - s_i \cdot s_j)/2$
- 代数验证：$(1 - s_i)/2 + (1 - s_j)/2 - 2 \cdot (1 - s_i)(1 - s_j)/4 = (2 - s_i - s_j)/2 - (1 - s_i - s_j + s_i \cdot s_j)/2 = (1 - s_i \cdot s_j)/2$ ✓
- 算符提升：$Z_i|b\rangle = s_i|b\rangle$（$Z|0\rangle = +|0\rangle$、$Z|1\rangle = -|1\rangle$）→ $Z_i Z_j$ 的本征值 $= s_i \cdot s_j$
- 逐边求和：$H_C = \sum_{(i,j) \in E} (1 - Z_i Z_j)/2 = (|E|/2) \cdot I - (1/2) \cdot \sum_{(i,j) \in E} Z_i Z_j$
- QUBO 卡（公式 + 代入核对）：$b_i$ → $(I - Z_i)/2$、$b_i \cdot b_j$ → $(I - Z_i)(I - Z_j)/4$，归类得 $H_C = c_0 I + \sum h_i Z_i + \sum J_{ij} \cdot Z_i Z_j$（$J_{ij} = Q_{ij}/4$ 等）；MaxCut 代入（$Q_{ii} = \deg(i)$、$Q_{ij} = -2$）核对：$h_i = -\deg(i)/2 + \deg(i)/2 = 0$ ✓、$J_{ij} = -2/4 = -1/2$ ✓、$c_0 = |E| - |E|/2 = |E|/2$ ✓——无场项 ⇔ 切断数在同构翻转下不变
- 背景行（一句）：MaxCut、Max-SAT、TSP、图着色多为 NP-Hard；经典近似有理论上限（MaxCut 唯一博弈猜想下 0.878 对应 Goemans-Williamson）；QAOA 用小整数 $p$ 层、多项式资源换随 $p$ 提升的近似解
类型definition-derivation（编码推导页）