QAOA（二）：交替演化与门综合

• 命题框：|γ,β⟩ = ∏_{l=1..p} [e^{−iβ_l·H_B}·e^{−iγ_l·H_C}]·|+⟩^⊗n；H_B = −Σ_i X_i（|+⟩^⊗n 为其基态，本征值 −n；两种约定只差 β → −β）
• 直觉行（一句引子）：问题层给高成本分量多转相位、混合层把相位差化为振幅差——机制近 Grover 振幅放大，但每层转角可调
• 推导步骤（门综合恒等式证明）：

1. 共轭恒等式：CNOT_{i→j}·Z_j·CNOT_{i→j} = Z_iZ_j；证明：对基矢 |b_i b_j⟩，CNOT 映为 |b_i, b_j⊕b_i⟩ → Z_j 给出 (−1)^{b_j⊕b_i} = (−1)^{b_i+b_j}（因 (−1)^{2b} = 1）= Z_iZ_j 的本征值 ✓

2. 共轭与指数交换：CNOT·e^{−iφZ_j/2}·CNOT = e^{−iφ·(CNOT·Z_j·CNOT)/2} = e^{−iφ·Z_iZ_j/2}

3. 门实现：CNOT_{i→j}·R_z,j(φ)·CNOT_{i→j} = e^{−iφ·Z_iZ_j/2}——每条边 2 个 CNOT + 1 个 R_z（MaxCut 边因子对应 φ = −γ）

4. 混合层：e^{+iβX} = R_x(−2β)（由 R_x(φ) := e^{−iφX/2} 取 φ = −2β）——每比特 1 个 R_x

5. 计数：每层 O(|E|+n) 个门，p 层总计 O(p·(|E|+n))

• 对称性卡（证明行）：β → β+π/2 对任意对角 H_C 恒成立——e^{i(π/2)X} = iX 逐比特相乘 → 两个混合层只差全局相位与 X^⊗n，而 X^⊗n 与对角算符对易、保持 |+⟩^⊗n → F 不变；γ → γ+π 需所有顶点度数奇偶一致（3 正则图、环图满足）
• 优化行：maximize F(γ,β) = ⟨γ,β|H_C|γ,β⟩；COBYLA 为常见默认，或拆成逐边门用 PSR + 链式法则