对由 $U = e^{-i\theta G/2}$（$G \in \{X, Y, Z\}$）生成的参数，梯度有精确公式：
$$\frac{\partial\langle M\rangle}{\partial\theta_k} = \frac{1}{2}\Big(\langle M\rangle_{(\theta_k + \pi/2)} - \langle M\rangle_{(\theta_k - \pi/2)}\Big)$$
验证演算取 $f(\theta) = \cos\theta$（可由旋转门产生）：$f(\theta + \pi/2) = \cos(\theta + \pi/2) = -\sin\theta$，$f(\theta - \pi/2) = \cos(\theta - \pi/2) = +\sin\theta$，于是 $\frac{1}{2}(-\sin\theta - \sin\theta) = -\sin\theta = d\cos\theta/d\theta$——给出的是解析导数，精确而非数值差分。操作上同一电路只跑两次：把 $\theta_k$ 分别设成 $\theta_k + \pi/2$ 与 $\theta_k - \pi/2$，两个期望值相减除以 2，再对输出映射用一次链式法则即得 $\partial L/\partial\theta_k$。代价与收益：每参数 2 次电路求值换 1 个精确梯度，这是变分算法可训练的核心引擎；经典侧靠反向传播逐层回传，量子层的梯度由电路自身求值给出。