量子核：把"相似度"交给量子

• 命题框：经典核 k(x,x′) = ⟨φ(x),φ(x′)⟩，SVM 对偶解 f(x) = Σᵢ αᵢyᵢ·k(xᵢ,x)——模型完全由核决定；量子特征态 |φ(x)⟩ = U_φ(x)|0⟩^{⊗n}；内积核 k = |⟨φ(x)|φ(x′)⟩|²、投影核 k = ⟨φ(x)|ρ(x′)|φ(x)⟩
• 推导步骤（碰撞测量，逐行）：

1. 线路：U_φ(x) 之后串接 U_φ†(x′)，测全零串

2. 幅值：⟨0|^{⊗n}·U_φ†(x′)·U_φ(x)·|0⟩^{⊗n} = ⟨φ(x′)|φ(x)⟩（用 ⟨0|U_φ†(x′) = ⟨φ(x′)|）

3. 概率取模方：Pr(0ⁿ) = |⟨φ(x)|φ(x′)⟩|² = k(x,x′)

4. 对角项：k(x,x) = |⟨φ(x)|φ(x)⟩|² = 1，自动归一 ✓

• 演算（两笔真实账）：

1. 交换检验反推：成功概率 = (1+k)/2，测得频率 0.9 → k = 2×0.9 − 1 = 0.8

2. 采样与对数账：每对估到加性 ε 需 O(log(1/δ)/ε²) 次采样；M = 100 训练样本 → 两两核值 M(M+1)/2 = 5050 对

• 流程行（四步）：选编码 U_φ（全部的模型设计）→ 5050 对碰撞测量（量子设备只做这一步）→ 经典解 SVM 对偶 → 预测时在线路上估 k(x_test, xᵢ) 代入 f(x)
• 结果框：没有变分优化——不训参数、无 landscapes、天然免疫高原（但核有自己的集中病，见第 11 页）